Номер 15, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.15. Найдите все значения аргумента, при которых функция $y = 1 + \log_{0.25}(\log_3(4 - x))$ принимает положительные значения.

Для того чтобы найти все значения аргумента, при которых функция $y = 1 + \log_{0.25}(\log_3(4-x))$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

$1 + \log_{0.25}(\log_3(4-x)) > 0$

Решение данного неравенства требует сначала найти область допустимых значений (ОДЗ) функции.

Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} 4 - x > 0 & \text{(аргумент внутреннего логарифма)} \\ \log_3(4-x) > 0 & \text{(аргумент внешнего логарифма)} \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

• Из первого неравенства: $4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$.
• Решим второе неравенство: $\log_3(4-x) > 0$. Так как $0 = \log_3(1)$ и основание $3 > 1$, то неравенство равносильно $4-x > 1$, откуда получаем $x < 3$.

Пересечением условий $x < 4$ и $x < 3$ является более строгое условие $x < 3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 3)$.

Теперь решаем исходное неравенство на найденной ОДЗ:

$1 + \log_{0.25}(\log_3(4-x)) > 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$\log_{0.25}(\log_3(4-x)) > -1$

Представим -1 как логарифм по основанию 0,25: $-1 = \log_{0.25}(0.25^{-1}) = \log_{0.25}(4)$.

$\log_{0.25}(\log_3(4-x)) > \log_{0.25}(4)$

Поскольку основание логарифма $0,25 < 1$, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

$\log_3(4-x) < 4$

Теперь решаем это неравенство. Представим 4 как логарифм по основанию 3: $4 = \log_3(3^4) = \log_3(81)$.

$\log_3(4-x) < \log_3(81)$

Поскольку основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$4 - x < 81$

$-x < 77$

$x > -77$

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение решения неравенства ($x > -77$) с областью допустимых значений ($x < 3$).

Получаем систему:

$ \begin{cases} x > -77 \\ x < 3 \end{cases} $

Решением системы является интервал $(-77; 3)$.

Ответ: $x \in (-77; 3)$.