Номер 11, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.11. Верно ли, что неравенство $log_5 x + log_{25} x < log_{0,2} \sqrt{3}$ не имеет целых решений?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо решить данное логарифмическое неравенство и проверить, есть ли среди его решений целые числа.

Исходное неравенство:

$\log_5 x + \log_{25} x < \log_{0.2} \sqrt{3}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому:

$x > 0$

2. Приведем все логарифмы к одному основанию.

Наиболее удобным общим основанием является 5. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

• Преобразуем $\log_{25} x$:
  $25 = 5^2$, следовательно, $\log_{25} x = \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_5 x$.
• Преобразуем $\log_{0.2} \sqrt{3}$:
  $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
  Следовательно, $\log_{0.2} \sqrt{3} = \log_{5^{-1}} 3^{1/2} = \frac{1/2}{-1} \log_5 3 = -\frac{1}{2} \log_5 3$.

3. Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство.

$\log_5 x + \frac{1}{2} \log_5 x < -\frac{1}{2} \log_5 3$

4. Упростим и решим неравенство.

Сложим слагаемые в левой части:

$(1 + \frac{1}{2}) \log_5 x < -\frac{1}{2} \log_5 3$

$\frac{3}{2} \log_5 x < -\frac{1}{2} \log_5 3$

Умножим обе части неравенства на $\frac{2}{3}$. Так как $\frac{2}{3} > 0$, знак неравенства не меняется:

$\log_5 x < (-\frac{1}{2} \log_5 3) \cdot \frac{2}{3}$

$\log_5 x < -\frac{1}{3} \log_5 3$

Используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:

$\log_5 x < \log_5 (3^{-1/3})$

$\log_5 x < \log_5 (\frac{1}{\sqrt[3]{3}})$

Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

5. Объединим полученное решение с ОДЗ.

Мы имеем систему из двух условий:

$\begin{cases} x > 0 \\ x < \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \end{cases}$

Таким образом, решение неравенства: $0 < x < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

6. Проверим наличие целых решений.

Оценим значение правой границы интервала $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Известно, что $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$. Поскольку $1 < 3 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{3} < 2$.

Отсюда следует, что $\frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt[3]{3}} < 1$.

Итак, решение неравенства $x$ лежит в интервале $(0; \frac{1}{\sqrt[3]{3}})$, который является подмножеством интервала $(0; 1)$.

В интервале $(0; 1)$ нет целых чисел. Следовательно, данное неравенство не имеет целых решений.

Таким образом, утверждение "неравенство $\log_5 x + \log_{25} x < \log_{0.2} \sqrt{3}$ не имеет целых решений" является верным.

Ответ: Да.