Номер 14, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.14. Решите неравенство:

a) $log_{0.6} \log_2 x > -1$;

б) $log_{0.8} \log_3 x > -1$;

в) $log_{\frac{1}{3}} \log_3 (x - 1) > 0$;

г) $2 + log_{0.5} (\log_3 (7 - x)) > 0$.

а) Решим неравенство $\log_{0,6} \log_2 x > -1$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

• Аргумент внутреннего логарифма: $x > 0$.
• Аргумент внешнего логарифма: $\log_2 x > 0$. Так как основание логарифма $2 > 1$, то $x > 2^0$, то есть $x > 1$.

Объединяя условия ($x > 0$ и $x > 1$), получаем ОДЗ: $x > 1$.

2. Решим само неравенство. Основание внешнего логарифма $0,6$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому при потенцировании (избавлении от логарифма) знак неравенства меняется на противоположный.

$\log_2 x < (0,6)^{-1}$

Вычислим правую часть: $(0,6)^{-1} = (\frac{6}{10})^{-1} = (\frac{3}{5})^{-1} = \frac{5}{3}$.

Получаем неравенство: $\log_2 x < \frac{5}{3}$.

3. Решим полученное логарифмическое неравенство. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

$x < 2^{\frac{5}{3}}$

4. Объединим полученное решение с ОДЗ.

Необходимо, чтобы выполнялись оба условия: $\begin{cases} x > 1 \\ x < 2^{\frac{5}{3}} \end{cases}$

Таким образом, решением неравенства является интервал $(1, 2^{\frac{5}{3}})$. Выделим целую часть из неправильной дроби в показателе степени: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Ответ: $1 < x < 2^{1\frac{2}{3}}$.

б) Решим неравенство $\log_{0,8} \log_3 x > -1$.

1. Найдем ОДЗ.

• $x > 0$.
• $\log_3 x > 0$. Так как основание $3 > 1$, то $x > 3^0 \implies x > 1$.

ОДЗ: $x > 1$.

2. Решим неравенство. Основание $0,8 < 1$, поэтому меняем знак неравенства.

$\log_3 x < (0,8)^{-1}$

$(0,8)^{-1} = (\frac{8}{10})^{-1} = (\frac{4}{5})^{-1} = \frac{5}{4}$.

Неравенство принимает вид: $\log_3 x < \frac{5}{4}$.

3. Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

$x < 3^{\frac{5}{4}}$

4. Учитывая ОДЗ $x > 1$, получаем решение: $1 < x < 3^{\frac{5}{4}}$.

Выделим целую часть из дроби в показателе: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.

Ответ: $1 < x < 3^{1\frac{1}{4}}$.

в) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}} \log_3 (x-1) > 0$.

1. Найдем ОДЗ.

• $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
• $\log_3 (x - 1) > 0$. Так как основание $3 > 1$, то $x - 1 > 3^0 \implies x - 1 > 1 \implies x > 2$.

ОДЗ: $x > 2$.

2. Решим неравенство. Основание $\frac{1}{3} < 1$, поэтому меняем знак неравенства.

$\log_3 (x - 1) < (\frac{1}{3})^0$

$\log_3 (x - 1) < 1$

3. Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

$x - 1 < 3^1 \implies x - 1 < 3 \implies x < 4$.

4. Объединим с ОДЗ ($x > 2$): $\begin{cases} x > 2 \\ x < 4 \end{cases}$

Ответ: $2 < x < 4$.

г) Решим неравенство $2 + \log_{0,5} (\log_3 (7-x)) > 0$.

Сначала преобразуем неравенство:

$\log_{0,5} (\log_3 (7-x)) > -2$

1. Найдем ОДЗ.

• $7 - x > 0 \implies x < 7$.
• $\log_3 (7 - x) > 0$. Так как основание $3 > 1$, то $7 - x > 3^0 \implies 7 - x > 1 \implies x < 6$.

ОДЗ: $x < 6$.

2. Решим неравенство. Основание $0,5 < 1$, поэтому меняем знак неравенства.

$\log_3 (7 - x) < (0,5)^{-2}$

$(0,5)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.

Неравенство принимает вид: $\log_3 (7 - x) < 4$.

3. Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

$7 - x < 3^4 \implies 7 - x < 81 \implies -x < 74 \implies x > -74$.

4. Объединим с ОДЗ ($x < 6$): $\begin{cases} x < 6 \\ x > -74 \end{cases}$

Ответ: $-74 < x < 6$.