Номер 38, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.38. Решите неравенство $\frac{\log_{\frac{1}{3}}(2x+1)}{\log_{\frac{1}{3}}(4x-1)} < 2$.

Для решения данного неравенства сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), затем преобразуем неравенство и решим его.

$$ \frac{\log_{\frac{1}{3}}(2x+1)}{\log_{\frac{1}{3}}(4x-1)} < 2 $$

1. Область допустимых значений (ОДЗ) Для существования логарифмов их аргументы должны быть строго положительными. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$$\begin{cases}2x + 1 > 0 \\4x - 1 > 0 \\\log_{\frac{1}{3}}(4x-1) \neq 0\end{cases}$$

Решим каждое условие системы:

1. $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -\frac{1}{2}$
2. $4x - 1 > 0 \implies 4x > 1 \implies x > \frac{1}{4}$
3. $\log_{\frac{1}{3}}(4x-1) \neq 0 \implies 4x-1 \neq \left(\frac{1}{3}\right)^0 \implies 4x-1 \neq 1 \implies 4x \neq 2 \implies x \neq \frac{1}{2}$

Пересечение этих условий дает нам ОДЗ: $x$ должен быть больше $\frac{1}{4}$ и не равен $\frac{1}{2}$.

ОДЗ: $x \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

2. Преобразование и решение неравенства

Воспользуемся формулой замены основания логарифма: $\frac{\log_a(b)}{\log_a(c)} = \log_c(b)$.

$$ \log_{4x-1}(2x+1) < 2 $$

Теперь необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от основания логарифма $4x-1$.

Случай 1: Основание $0 < 4x-1 < 1$

Это условие выполняется при $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$. Этот интервал входит в ОДЗ.

Если основание логарифма находится в интервале $(0, 1)$, то логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при "снятии" логарифма знак неравенства меняется на противоположный.

$$ 2x+1 > (4x-1)^2 $$

$$ 2x+1 > 16x^2 - 8x + 1 $$

$$ 0 > 16x^2 - 10x $$

$$ 2x(8x-5) < 0 $$

Решением этого квадратного неравенства является интервал $x \in (0, \frac{5}{8})$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием для данного случая: $(0, \frac{5}{8}) \cap (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

Решением для первого случая является интервал $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

Случай 2: Основание $4x-1 > 1$

Это условие выполняется при $x > \frac{1}{2}$. Этот интервал также входит в ОДЗ.

Если основание логарифма больше 1, то логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется.

$$ 2x+1 < (4x-1)^2 $$

$$ 2x+1 < 16x^2 - 8x + 1 $$

$$ 0 < 16x^2 - 10x $$

$$ 2x(8x-5) > 0 $$

Решением этого квадратного неравенства является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (\frac{5}{8}, +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая: $((-\infty, 0) \cup (\frac{5}{8}, +\infty)) \cap (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Решением для второго случая является интервал $(\frac{5}{8}, +\infty)$.

3. Итоговый результат

Объединим решения, полученные в обоих случаях.

Решение неравенства: $x \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{8}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{8}, +\infty)$.