Номер 6, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.6. Найдите значение выражения $(x_0 + y_0)$, где $(x_0; y_0)$ — решение системы уравнений$\begin{cases}x^2 - 4x - 2y - 1 = 0, \\y^2 - 2x + 6y + 14 = 0.\end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0, \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0. \end{cases} $

Для нахождения решения $(x_0; y_0)$ сложим оба уравнения системы. Этот метод является корректным, так как если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением системы, то она обращает оба уравнения в верные числовые равенства, а значит, и их сумма будет верным равенством.

$ (x^2 - 4x - 2y - 1) + (y^2 - 2x + 6y + 14) = 0 + 0 $

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и приведем подобные:

$ x^2 - 4x - 2x + y^2 - 2y + 6y - 1 + 14 = 0 $

$ x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0 $

Чтобы упростить полученное уравнение, выделим полные квадраты для выражений, содержащих $x$ и $y$, используя формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Для переменной $x$:

$ x^2 - 6x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 = (x - 3)^2 - 9 $

Для переменной $y$:

$ y^2 + 4y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (y + 2)^2 - 4 $

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$ ((x - 3)^2 - 9) + ((y + 2)^2 - 4) + 13 = 0 $

$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 9 - 4 + 13 = 0 $

$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0 $

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из выражений, возводимых в квадрат, равно нулю, так как $(x-3)^2 \ge 0$ и $(y+2)^2 \ge 0$.

$ \begin{cases} (x - 3)^2 = 0 \\ (y + 2)^2 = 0 \end{cases} $

Отсюда находим единственное возможное вещественное решение:

$ \begin{cases} x - 3 = 0 \implies x_0 = 3 \\ y + 2 = 0 \implies y_0 = -2 \end{cases} $

Таким образом, решением системы является пара $(x_0; y_0) = (3; -2)$. Необходимо убедиться, что это решение удовлетворяет обоим исходным уравнениям.

Проверка:

1) $x^2 - 4x - 2y - 1 = 3^2 - 4(3) - 2(-2) - 1 = 9 - 12 + 4 - 1 = 0$. Верно.

2) $y^2 - 2x + 6y + 14 = (-2)^2 - 2(3) + 6(-2) + 14 = 4 - 6 - 12 + 14 = 0$. Верно.

Решение найдено правильно.

Теперь найдем значение искомого выражения $(x_0 + y_0)$:

$ x_0 + y_0 = 3 + (-2) = 1 $

$(x_0 + y_0)$ Ответ: 1