Номер 12, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.12. Найдите количество решений системы уравнений

$\begin{cases}x^2 - 5y^2 - 3x - y + 22 = 0, \\(x-3)(y-2) = y^2 - 3y + 2.\end{cases}$

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}x^2 - 5y^2 - 3x - y + 22 = 0, \\(x-3)(y-2) = y^2 - 3y + 2.\end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение системы. Разложим на множители его правую часть, которая является квадратным трехчленом относительно $y$:

$y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)$

Теперь второе уравнение системы имеет вид:

$(x-3)(y-2) = (y-1)(y-2)$

Перенесем все члены в левую часть:

$(x-3)(y-2) - (y-1)(y-2) = 0$

Вынесем общий множитель $(y-2)$ за скобки:

$(y-2) \cdot [(x-3) - (y-1)] = 0$

$(y-2)(x-3-y+1) = 0$

$(y-2)(x-y-2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что исходная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

1. Первый случай

Рассмотрим случай, когда первый множитель равен нулю: $y - 2 = 0 \implies y = 2$.
Подставим это значение в первое уравнение исходной системы:

$x^2 - 5(2)^2 - 3x - 2 + 22 = 0$

$x^2 - 5 \cdot 4 - 3x + 20 = 0$

$x^2 - 20 - 3x + 20 = 0$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$

Отсюда находим два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, мы получили два решения системы: $(0, 2)$ и $(3, 2)$.

2. Второй случай

Рассмотрим случай, когда второй множитель равен нулю: $x - y - 2 = 0 \implies x = y + 2$.
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение исходной системы:

$(y+2)^2 - 5y^2 - 3(y+2) - y + 22 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(y^2 + 4y + 4) - 5y^2 - 3y - 6 - y + 22 = 0$

$(y^2 - 5y^2) + (4y - 3y - y) + (4 - 6 + 22) = 0$

$-4y^2 + 0 \cdot y + 20 = 0$

$4y^2 = 20$

$y^2 = 5$

Отсюда находим два значения для $y$: $y_3 = \sqrt{5}$ и $y_4 = -\sqrt{5}$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = y + 2$:

• При $y = \sqrt{5}$, $x = 2 + \sqrt{5}$.
• При $y = -\sqrt{5}$, $x = 2 - \sqrt{5}$.

Таким образом, мы получили еще два решения системы: $(2 + \sqrt{5}, \sqrt{5})$ и $(2 - \sqrt{5}, -\sqrt{5})$.

Всего мы нашли четыре различных решения. Следовательно, система имеет 4 решения.

Ответ: 4