Номер 19, страница 117 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.19. Найдите значение выражения $n \cdot S$, где $n$ — количество решений, а $S$ — наименьшая из сумм $x_0 + y_0$, зная, что $(x_0; y_0)$ — решение системы уравнений

Для решения данной системы уравнений заметим, что $x^2 = (|x|)^2$. Это позволяет сделать замену переменных, чтобы упростить систему.

Пусть $a = |x|$ и $b = y$. Так как $|x| \ge 0$, то и $a \ge 0$. Исходная система примет вид:

Первое уравнение представляет собой полный квадрат разности:

Из этого уравнения следует, что $a - b = 2$ или $a - b = -2$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a - b = 2$

Выразим $a$ через $b$: $a = b + 2$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

Решим полученное квадратное уравнение относительно $b$. Корни можно найти, разложив на множители: $(3b - 1)(b + 1) = 0$.

Получаем два возможных значения для $b$:

• Если $b_1 = \frac{1}{3}$, то $a_1 = b_1 + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$. Условие $a \ge 0$ выполняется.
• Если $b_2 = -1$, то $a_2 = b_2 + 2 = -1 + 2 = 1$. Условие $a \ge 0$ также выполняется.

Таким образом, в этом случае мы получили две пары решений для $(a, b)$: $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ и $(1, -1)$.

Случай 2: $a - b = -2$

Выразим $a$ через $b$: $a = b - 2$. Подставим во второе уравнение:

Решим это квадратное уравнение: $(3b + 1)(b - 1) = 0$.

Получаем два значения для $b$:

• Если $b_3 = -\frac{1}{3}$, то $a_3 = b_3 - 2 = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}$. Это значение не удовлетворяет условию $a \ge 0$.
• Если $b_4 = 1$, то $a_4 = b_4 - 2 = 1 - 2 = -1$. Это значение также не удовлетворяет условию $a \ge 0$.

Следовательно, второй случай не дает действительных решений.

Теперь вернемся к исходным переменным $(x, y)$, используя найденные пары $(a, b) = (|x|, y)$ из первого случая.

1. Из пары $(a, b) = (\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ получаем $|x| = \frac{7}{3}$ и $y = \frac{1}{3}$. Это дает два решения для $(x, y)$: $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ и $(-\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$.
2. Из пары $(a, b) = (1, -1)$ получаем $|x| = 1$ и $y = -1$. Это дает еще два решения: $(1, -1)$ и $(-1, -1)$.

Таким образом, система имеет четыре решения.

n — количество решений системы.
Ответ: 4

S — наименьшая из сумм $x_0 + y_0$ для всех решений $(x_0; y_0)$. Вычислим эти суммы:

• Для $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ сумма равна $\frac{7}{3} + \frac{1}{3} = \frac{8}{3} = \mathbf{2}\frac{2}{3}$.
• Для $(-\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ сумма равна $-\frac{7}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{6}{3} = -2$.
• Для $(1, -1)$ сумма равна $1 + (-1) = 0$.
• Для $(-1, -1)$ сумма равна $-1 + (-1) = -2$.

Сравнивая полученные значения ($2\frac{2}{3}$, -2, 0), находим наименьшее.
Ответ: -2

Наконец, найдем искомое значение выражения $n \cdot S$:

Ответ: -8