Номер 2, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.2. Найдите наибольшее целое положительное решение системы не-

равенств

$ \begin{cases} x - 4 \le 1 - \frac{x - 1}{4}, \\ 2x - 0.5 > \frac{x}{2} - 1.5. \end{cases} $

Для нахождения наибольшего целого положительного решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение множеств их решений.

1. Решение первого неравенства

Решим неравенство $x - 4 \le 1 - \frac{x-1}{4}$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 4:

$$4 \cdot (x - 4) \le 4 \cdot \left(1 - \frac{x-1}{4}\right)$$

$$4x - 16 \le 4 - (x-1)$$

Раскроем скобки в правой части:

$$4x - 16 \le 4 - x + 1$$

$$4x - 16 \le 5 - x$$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные — в правую:

$$4x + x \le 5 + 16$$

$$5x \le 21$$

$$x \le \frac{21}{5}$$

2. Решение второго неравенства

Решим неравенство $2x - 0,5 > \frac{x}{2} - 1,5$.

Чтобы избавиться от дробей и десятичных чисел, умножим обе части неравенства на 2:

$$2 \cdot (2x - 0,5) > 2 \cdot \left(\frac{x}{2} - 1,5\right)$$

$$4x - 1 > x - 3$$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$$4x - x > -3 + 1$$

$$3x > -2$$

$$x > -\frac{2}{3}$$

3. Нахождение решения системы и ответ

Мы получили систему из двух условий:

$$\begin{cases} x \le \frac{21}{5} \\ x > -\frac{2}{3} \end{cases}$$

Это означает, что решение принадлежит интервалу $\left(-\frac{2}{3}; \frac{21}{5}\right]$.

Представим границы интервала в виде десятичных дробей для наглядности: $\left(-0,66...; 4,2\right]$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти наибольшее целое положительное решение. Выпишем все целые числа из этого интервала: 0, 1, 2, 3, 4.

Положительными из них являются: 1, 2, 3, 4.

Наибольшим среди этих чисел является 4.

Ответ: 4