Номер 8, страница 122 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.8. Решите систему неравенств

$\begin{cases}|x^2 - 4x| < 2, \\|x + 1| < 5.\end{cases}$

Для решения данной системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных множеств решений.

1. Решим первое неравенство: $|x^2 - 4x| < 2$.
Данное неравенство равносильно двойному неравенству $-2 < x^2 - 4x < 2$, которое, в свою очередь, эквивалентно системе:

$$\begin{cases} x^2 - 4x - 2 < 0 \\ x^2 - 4x + 2 > 0\end{cases}$$

Решим первое неравенство системы: $x^2 - 4x - 2 < 0$.
Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (2 - \sqrt{6}; 2 + \sqrt{6})$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 - 4x + 2 > 0$.
Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.
Корни: $x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}; +\infty)$.

Пересечение решений этих двух неравенств даёт решение для $|x^2 - 4x| < 2$:
$x \in (2 - \sqrt{6}; 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}; 2 + \sqrt{6})$.

2. Решим второе неравенство исходной системы: $|x + 1| < 5$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-5 < x + 1 < 5$.
Вычтем 1 из всех частей: $-6 < x < 4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-6; 4)$.

3. Найдём общее решение системы.
Для этого найдём пересечение решений, полученных в пунктах 1 и 2:
$((2 - \sqrt{6}; 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}; 2 + \sqrt{6})) \cap (-6; 4)$.
Оценим значения границ интервалов:$2 - \sqrt{6} \approx -0.45$;$2 - \sqrt{2} \approx 0.59$;$2 + \sqrt{2} \approx 3.41$;$2 + \sqrt{6} \approx 4.45$. Интервал $(2 - \sqrt{6}; 2 - \sqrt{2})$ полностью содержится в интервале $(-6; 4)$. Интервал $(2 + \sqrt{2}; 2 + \sqrt{6})$ пересекается с интервалом $(-6; 4)$ по промежутку $(2 + \sqrt{2}; 4)$. Объединяя эти результаты, получаем итоговое решение.

Решение системы неравенств Ответ: $x \in (2 - \sqrt{6}; 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}; 4)$.