Номер 3, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.3. Решите систему неравенств:

a) $$\begin{cases} |x - 3| \le 4, \\ |x - 6| \ge 1; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} |8x - 1| \le 3, \\ |2x + 1| \ge -5. \end{cases}$$

a) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $|x - 3| \le 4$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

Решение первого неравенства: $x \in [-1, 7]$.

2. Решим второе неравенство $|x - 6| \ge 1$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

Решаем каждое из них:

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 5] \cup [7, \infty)$.

3. Найдём пересечение решений обоих неравенств.
Решение первого неравенства: $x \in [-1, 7]$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 5] \cup [7, \infty)$.
Пересечением этих множеств является $[-1, 7] \cap ((-\infty, 5] \cup [7, \infty))$.
Это эквивалентно $([-1, 7] \cap (-\infty, 5]) \cup ([-1, 7] \cap [7, \infty))$, что даёт $[-1, 5] \cup \{7\}$.

Ответ: $x \in [-1, 5] \cup \{7\}$.

б) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $|8x - 1| \le 3$.
Оно равносильно двойному неравенству:

Прибавим 1 ко всем частям:

Разделим все части на 8:

Упростим дроби:

Решение первого неравенства: $x \in [-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$.

2. Решим второе неравенство $|2x + 1| \ge -5$.
Модуль любого действительного выражения всегда является неотрицательным числом, то есть $|2x + 1| \ge 0$ для любого значения $x$. Поскольку любое неотрицательное число всегда больше или равно любому отрицательному числу (в данном случае -5), это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.

3. Решением системы является пересечение решений обоих неравенств.
Пересечение отрезка $[-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ со всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$ есть сам этот отрезок.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$.