Номер 5, страница 122 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.5. Найдите сумму целых решений системы неравенств

$ \begin{cases} 50 - 5x \ge x^2, \\ x^2 - 4x + 4 > 0. \end{cases} $

Для того чтобы найти сумму целых решений системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, найти пересечение их решений, а затем сложить все целые числа из этого пересечения.

Система неравенств:

$$ \begin{cases} 50 - 5x \ge x^2, \\ x^2 - 4x + 4 > 0. \end{cases} $$

Шаг 1: Решение первого неравенства $50 - 5x \ge x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$x^2 + 5x - 50 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 50 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-5 - 15}{2} = -10$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-5 + 15}{2} = 5$

Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен (ветви параболы направлены вверх), неравенство $x^2 + 5x - 50 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-10; 5]$.

Шаг 2: Решение второго неравенства $x^2 - 4x + 4 > 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности:

$(x - 2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$. Неравенство является строгим, поэтому мы должны исключить случай, когда выражение равно нулю.

$(x - 2)^2 = 0$ при $x = 2$.

Следовательно, решение второго неравенства — это все действительные числа, кроме $x=2$.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Шаг 3: Нахождение решения системы и вычисление суммы целых решений

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$x \in [-10; 5] \cap (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$

Это множество чисел на отрезке от -10 до 5, за исключением числа 2. То есть, $x \in [-10; 2) \cup (2; 5]$.

Выпишем все целые числа из этого множества:

-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5.

Теперь найдем их сумму:

$S = (-10) + (-9) + (-8) + (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 3 + 4 + 5$

Можно посчитать сумму всех целых чисел от -10 до 5, а затем вычесть из нее 2 (которое мы исключили). Сумма целых чисел от -10 до 5 является суммой членов арифметической прогрессии:

$S_{[-10; 5]} = \frac{-10 + 5}{2} \cdot (5 - (-10) + 1) = \frac{-5}{2} \cdot 16 = -40$

Искомая сумма равна $S = S_{[-10; 5]} - 2 = -40 - 2 = -42$.

Ответ: -42.