Номер 10, страница 122 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.10. Решите систему неравенств

$ \begin{cases} \frac{10}{9x-10} > \frac{9x^2}{10-9x}, \\ \frac{9x^2}{9x^2+16} < \frac{16}{9x^2+16}. \end{cases} $

Решим данную систему неравенств поэтапно.

Решение первого неравенства:

$$ \frac{10}{9x - 10} > \frac{9x^2}{10 - 9x} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $9x - 10 \neq 0$, что означает $x \neq \frac{10}{9}$.

Преобразуем неравенство, заметив, что знаменатель в правой части $10 - 9x = -(9x - 10)$:

$$ \frac{10}{9x - 10} > -\frac{9x^2}{9x - 10} $$

Перенесем все члены в левую часть:

$$ \frac{10}{9x - 10} + \frac{9x^2}{9x - 10} > 0 $$

Сложим дроби:

$$ \frac{9x^2 + 10}{9x - 10} > 0 $$

Числитель $9x^2 + 10$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $9x^2 \ge 0$ и $9x^2 + 10 \ge 10 > 0$.

Поскольку числитель всегда положителен, знак всей дроби зависит от знака знаменателя. Для выполнения неравенства знаменатель должен быть положителен:

$$ 9x - 10 > 0 $$

$$ 9x > 10 $$

$$ x > \frac{10}{9} $$

Решением первого неравенства является интервал $x \in (\frac{10}{9}; +\infty)$.

Решение второго неравенства:

$$ \frac{9x^2}{9x^2 + 16} < \frac{16}{9x^2 + 16} $$

Знаменатель $9x^2 + 16$ всегда положителен (так как $9x^2 \ge 0$, то $9x^2 + 16 \ge 16 > 0$), поэтому область допустимых значений — все действительные числа.

Перенесем все члены в левую часть:

$$ \frac{9x^2}{9x^2 + 16} - \frac{16}{9x^2 + 16} < 0 $$

$$ \frac{9x^2 - 16}{9x^2 + 16} < 0 $$

Так как знаменатель всегда положителен, для выполнения неравенства числитель должен быть отрицателен:

$$ 9x^2 - 16 < 0 $$

Найдем корни соответствующего уравнения $9x^2 - 16 = 0$:

$$ 9x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{9} \implies x = \pm\frac{4}{3} $$

Графиком функции $y = 9x^2 - 16$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$.

Решением второго неравенства является интервал $x \in (-\frac{4}{3}; \frac{4}{3})$.

Решение системы неравенств:

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$$ x \in (\frac{10}{9}; +\infty) \cap (-\frac{4}{3}; \frac{4}{3}) $$

Для нахождения пересечения сравним граничные значения $\frac{10}{9}$ и $\frac{4}{3}$. Приведем к общему знаменателю 9:

$$ \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{12}{9} $$

Поскольку $\frac{10}{9} < \frac{12}{9}$, то $\frac{10}{9} < \frac{4}{3}$.

Таким образом, пересечением интервалов является $(\frac{10}{9}; \frac{4}{3})$.

Выделим целые части в граничных точках интервала:

$$ \frac{10}{9} = \mathbf{1}\frac{1}{9} $$

$$ \frac{4}{3} = \mathbf{1}\frac{1}{3} $$

Ответ: $x \in (\mathbf{1}\frac{1}{9}; \mathbf{1}\frac{1}{3})$.