Номер 5, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.5. Решите уравнение относительно x:

а) $(a + 14)x = 7;$

б) $(2a + 7)x = a;$

в) $(a + 7)x = a + 2;$

г) $a (x - 3) = 0;$

д) $(a - 1)(x - 3) = 3;$

е) $(a^2 - 25)x = a + 5;$

ж) $(a - 2)x = (4 - 2a)x + 3;$

з) $2(a + 2x) = ax + 3.$

а) $(a + 14)x = 7$

Это линейное уравнение вида $Kx = M$, где $K = a + 14$ и $M = 7$. Решение зависит от значения коэффициента $K$.

1. Если коэффициент при $x$ равен нулю: $a + 14 = 0$, то есть $a = -14$.
   Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 7$. Это уравнение не имеет решений, так как 0 не равно 7.
2. Если коэффициент при $x$ не равен нулю: $a + 14 \neq 0$, то есть $a \neq -14$.
   В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a + 14)$:
   $x = \frac{7}{a + 14}$.

Ответ: при $a = -14$ решений нет; при $a \neq -14$, $x = \frac{7}{a + 14}$.

б) $(2a + 7)x = a$

Это линейное уравнение вида $Kx = M$, где $K = 2a + 7$ и $M = a$.

1. Если $2a + 7 = 0$, то есть $a = -3.5$.
   Уравнение становится $0 \cdot x = -3.5$. Решений нет.
2. Если $2a + 7 \neq 0$, то есть $a \neq -3.5$.
   Делим обе части на $(2a + 7)$:
   $x = \frac{a}{2a + 7}$.

Ответ: при $a = -3.5$ решений нет; при $a \neq -3.5$, $x = \frac{a}{2a + 7}$.

в) $(a + 7)x = a + 2$

Это линейное уравнение вида $Kx = M$, где $K = a + 7$ и $M = a + 2$.

1. Если $a + 7 = 0$, то есть $a = -7$.
   Уравнение принимает вид $0 \cdot x = -7 + 2$, или $0 \cdot x = -5$. Решений нет.
2. Если $a + 7 \neq 0$, то есть $a \neq -7$.
   Делим обе части на $(a + 7)$:
   $x = \frac{a + 2}{a + 7}$.
   Выделим целую часть дроби: $x = \frac{(a + 7) - 5}{a + 7} = \frac{a+7}{a+7} - \frac{5}{a+7} = 1 - \frac{5}{a+7}$.

Ответ: при $a = -7$ решений нет; при $a \neq -7$, $x = 1 - \frac{5}{a+7}$.

г) $a(x - 3) = 0$

Раскроем скобки: $ax - 3a = 0$, или $ax = 3a$.

1. Если $a = 0$.
   Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3 \cdot 0$, или $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$.
2. Если $a \neq 0$.
   Можно разделить обе части уравнения на $a$:
   $x = \frac{3a}{a} = 3$.

Ответ: при $a = 0$, $x$ - любое число; при $a \neq 0$, $x = 3$.

д) $(a - 1)(x - 3) = 3$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения множителя $(a-1)$.

1. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.
   Уравнение принимает вид $0 \cdot (x - 3) = 3$, или $0 = 3$. Это неверное равенство, поэтому решений нет.
2. Если $a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
   Разделим обе части на $(a - 1)$:
   $x - 3 = \frac{3}{a - 1}$.
   Перенесем 3 в правую часть:
   $x = 3 + \frac{3}{a - 1}$.

Ответ: при $a = 1$ решений нет; при $a \neq 1$, $x = 3 + \frac{3}{a-1}$.

е) $(a^2 - 25)x = a + 5$

Разложим коэффициент при $x$ на множители: $(a - 5)(a + 5)x = a + 5$.

1. Если $a^2 - 25 = 0$, то есть $a = 5$ или $a = -5$.
   • При $a = 5$: уравнение принимает вид $0 \cdot x = 5 + 5$, или $0 \cdot x = 10$. Решений нет.
   • При $a = -5$: уравнение принимает вид $0 \cdot x = -5 + 5$, или $0 \cdot x = 0$. Равенство верно для любого $x$.
2. Если $a^2 - 25 \neq 0$, то есть $a \neq 5$ и $a \neq -5$.
   Делим обе части на $(a^2 - 25)$:
   $x = \frac{a + 5}{a^2 - 25} = \frac{a + 5}{(a - 5)(a + 5)}$.
   Сокращаем дробь на $(a+5)$, так как $a \neq -5$:
   $x = \frac{1}{a - 5}$.

Ответ: при $a = 5$ решений нет; при $a = -5$, $x$ - любое число; при $a \neq 5$ и $a \neq -5$, $x = \frac{1}{a - 5}$.

ж) $(a - 2)x = (4 - 2a)x + 3$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть:

$(a - 2)x - (4 - 2a)x = 3$

$(a - 2 - 4 + 2a)x = 3$

$(3a - 6)x = 3$

$3(a - 2)x = 3$

1. Если коэффициент при $x$ равен нулю: $3(a - 2) = 0$, то есть $a = 2$.
   Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$. Решений нет.
2. Если $a \neq 2$.
   Разделим обе части на $3(a-2)$:
   $x = \frac{3}{3(a-2)} = \frac{1}{a-2}$.

Ответ: при $a = 2$ решений нет; при $a \neq 2$, $x = \frac{1}{a-2}$.

з) $2(a + 2x) = ax + 3$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$:

$2a + 4x = ax + 3$

$4x - ax = 3 - 2a$

$(4 - a)x = 3 - 2a$

1. Если $4 - a = 0$, то есть $a = 4$.
   Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3 - 2(4)$, или $0 \cdot x = -5$. Решений нет.
2. Если $4 - a \neq 0$, то есть $a \neq 4$.
   Разделим обе части на $(4 - a)$:
   $x = \frac{3 - 2a}{4 - a}$.
   Выделим целую часть: $x = \frac{-2a + 3}{-a + 4} = \frac{2(-a + 4) - 8 + 3}{-a + 4} = \frac{2(4-a) - 5}{4-a} = 2 - \frac{5}{4-a} = 2 + \frac{5}{a-4}$.

Ответ: при $a = 4$ решений нет; при $a \neq 4$, $x = 2 + \frac{5}{a-4}$.