Номер 11, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.11. Решите уравнение относительно x:

а) $|x + 2| = a;$

б) $|x - 3| = ax;$

в) $|3x + 6| = ax.$

а) Дано уравнение $|x + 2| = a$.

Левая часть уравнения $|x + 2|$ по определению модуля является неотрицательной. Это означает, что для существования решений правая часть уравнения, параметр $a$, также должен быть неотрицательным, то есть $a \ge 0$.

• При $a < 0$:

  Уравнение не имеет решений, так как неотрицательное значение (модуль) не может быть равно отрицательному числу.

• При $a = 0$:

  Уравнение принимает вид $|x + 2| = 0$. Модуль выражения равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю:

  $x + 2 = 0$

  $x = -2$

• При $a > 0$:

  Уравнение $|x + 2| = a$ эквивалентно двум линейным уравнениям:

  $x + 2 = a \quad \lor \quad x + 2 = -a$

  $x = a - 2 \quad \lor \quad x = -a - 2$

  Таким образом, при $a > 0$ уравнение имеет два различных корня.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a = 0$ корень $x = -2$; при $a > 0$ два корня $x_1 = a - 2$ и $x_2 = -a - 2$.

б) Дано уравнение $|x - 3| = ax$.

Так как левая часть уравнения $|x - 3| \ge 0$, то и правая часть должна быть неотрицательной: $ax \ge 0$. Это условие необходимо для существования решений. Решим уравнение, раскрыв модуль.

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

Уравнение принимает вид $x - 3 = ax$.

$x - ax = 3 \implies x(1 - a) = 3$.

Если $a = 1$, получаем $0 = 3$, что неверно, следовательно, решений нет. Если $a \ne 1$, то $x = \frac{3}{1 - a}$.

Этот корень должен удовлетворять условию $x \ge 3$. Решим неравенство $\frac{3}{1 - a} \ge 3$. Это равносильно $\frac{3a}{1 - a} \ge 0$, что выполняется для $a \in [0, 1)$.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

Уравнение принимает вид $-(x - 3) = ax$, или $3 - x = ax$.

$3 = x + ax \implies x(1 + a) = 3$.

Если $a = -1$, получаем $0 = 3$, что неверно, решений нет. Если $a \ne -1$, то $x = \frac{3}{a + 1}$.

Этот корень должен удовлетворять условию $x < 3$. Решим неравенство $\frac{3}{a + 1} < 3$. Это равносильно $\frac{a}{a + 1} > 0$, что выполняется для $a \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

Объединим результаты:

• При $a < -1$: есть один корень из второго случая $x = \frac{3}{a+1}$.
• При $a \in [-1, 0)$: корней нет.
• При $a = 0$: из первого случая $x=3$.
• При $a \in (0, 1)$: есть корень из первого случая $x_1 = \frac{3}{1-a}$ и из второго $x_2 = \frac{3}{a+1}$.
• При $a = 1$: из второго случая $x = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$.
• При $a > 1$: есть один корень из второго случая $x = \frac{3}{a+1}$.

Ответ: при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ корень $x = \frac{3}{a+1}$; при $a \in [-1, 0)$ корней нет; при $a=0$ корень $x=3$; при $a \in (0, 1)$ два корня $x_1 = \frac{3}{1-a}$ и $x_2 = \frac{3}{a+1}$; при $a=1$ корень $x = \frac{3}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}$.

в) Дано уравнение $|3x + 6| = ax$.

Условие существования решений: $ax \ge 0$. Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$(3x+6)^2 = (ax)^2$

$9x^2 + 36x + 36 = a^2x^2$

$x^2(9 - a^2) + 36x + 36 = 0$

Случай 1: $9 - a^2 = 0$, то есть $a = 3$ или $a = -3$.

• Если $a=3$, уравнение становится линейным: $36x + 36 = 0 \implies x = -1$. Проверяем условие $ax \ge 0$: $3(-1) = -3 < 0$. Корень не является решением исходного уравнения.
• Если $a=-3$, уравнение также становится $36x + 36 = 0 \implies x = -1$. Проверяем условие $ax \ge 0$: $(-3)(-1) = 3 \ge 0$. Корень подходит.

Случай 2: $9 - a^2 \ne 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 36^2 - 4(9-a^2)(36) = 144a^2 = (12a)^2$.
Корни: $x = \frac{-36 \pm 12a}{2(9-a^2)} = \frac{-6(3 \mp a)}{(3-a)(3+a)}$.

Отсюда получаем два потенциальных корня: $x_1 = \frac{-6}{a+3}$ и $x_2 = \frac{6}{a-3}$.
Проверим для каждого из них выполнение условия $ax \ge 0$.

• Для $x_1 = \frac{-6}{a+3}$, условие $a \cdot \frac{-6}{a+3} \ge 0 \iff \frac{a}{a+3} \le 0$ выполняется при $a \in (-3, 0]$.
• Для $x_2 = \frac{6}{a-3}$, условие $a \cdot \frac{6}{a-3} \ge 0 \iff \frac{a}{a-3} \ge 0$ выполняется при $a \in (-\infty, 0] \cup (3, \infty)$.

Сводка по значениям параметра $a$:

• При $a < -3$: подходит только $x_2$. Один корень $x = \frac{6}{a-3}$.
• При $a = -3$: один корень $x = -1$.
• При $a \in (-3, 0)$: подходят оба корня $x_1 = \frac{-6}{a+3}$ и $x_2 = \frac{6}{a-3}$.
• При $a = 0$: оба выражения дают $x=-2$. Один корень.
• При $a \in (0, 3]$: решений нет.
• При $a > 3$: подходит только $x_2$. Один корень $x = \frac{6}{a-3}$.

Ответ: при $a < -3$ или $a > 3$ корень $x = \frac{6}{a-3}$; при $a = -3$ корень $x = -1$; при $a \in (-3, 0)$ два корня $x_1 = \frac{-6}{a+3}$ и $x_2 = \frac{6}{a-3}$; при $a = 0$ корень $x = -2$; при $a \in (0, 3]$ корней нет.