Номер 13, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.13. При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases} (a + 3)x + 2y = 4, \\ x - ay = 10 \end{cases}$ имеет единственное решение?

Дана система линейных уравнений:$\begin{cases}(a+3)x + 2y = 4 \\x - ay = 10\end{cases}$

Система двух линейных уравнений вида $\begin{cases}A_1x + B_1y = C_1 \\A_2x + B_2y = C_2\end{cases}$имеет единственное решение тогда и только тогда, когда её определитель не равен нулю. Определитель вычисляется по формуле $\Delta = A_1B_2 - A_2B_1$.

В нашем случае коэффициенты равны:
$A_1 = a+3$, $B_1 = 2$
$A_2 = 1$, $B_2 = -a$

Условие существования единственного решения: $\Delta \neq 0$.
Подставим наши коэффициенты в формулу определителя:$(a+3)(-a) - 1 \cdot 2 \neq 0$

Раскроем скобки и упростим полученное неравенство:$-a^2 - 3a - 2 \neq 0$

Умножим обе части неравенства на -1. Знак неравенства "не равно" при этом не меняется.$a^2 + 3a + 2 \neq 0$

Чтобы найти, при каких значениях $a$ это неравенство выполняется, сначала найдем, при каких $a$ соответствующее уравнение равно нулю:$a^2 + 3a + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: сумма корней равна -3, а их произведение равно 2. Отсюда следует, что корни уравнения:$a_1 = -2$$a_2 = -1$

Таким образом, при $a = -2$ и $a = -1$ определитель системы равен нулю, и система не имеет единственного решения. При всех остальных значениях параметра $a$ система будет иметь единственное решение.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1) \cup (-1; +\infty)$.