Номер 14, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.14. При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases} 2x + (9a^2 - 2)y = 3a, \\ x + y = 1 \end{cases}$не имеет решений?

Для того чтобы система линейных уравнений$$\begin{cases}2x + (9a^2 - 2)y = 3a \\x + y = 1\end{cases}$$не имела решений, необходимо, чтобы её уравнения описывали параллельные, но не совпадающие прямые. Алгебраически это означает, что отношение коэффициентов при $x$ должно быть равно отношению коэффициентов при $y$, но не равно отношению свободных членов.
Для данной системы это условие записывается так:$$\frac{2}{1} = \frac{9a^2 - 2}{1} \neq \frac{3a}{1}$$Это двойное условие можно представить в виде системы:$$\begin{cases}2 = 9a^2 - 2 \\2 \neq 3a\end{cases}$$Из первого уравнения находим $a$:$$9a^2 = 4 \implies a^2 = \frac{4}{9} \implies a = \pm\frac{2}{3}$$Из второго условия имеем $a \neq \frac{2}{3}$.
Сравнивая результаты, мы видим, что значение $a = \frac{2}{3}$ должно быть исключено. При этом значении система будет иметь бесконечно много решений, так как все три отношения будут равны ($2=2=2$).
Остается единственное значение $a = -\frac{2}{3}$, которое удовлетворяет обоим условиям. При $a = -\frac{2}{3}$ соотношение принимает вид $2 = 2 \neq -2$, что верно. Следовательно, при $a = -\frac{2}{3}$ система не имеет решений.

Ответ: $-\frac{2}{3}$