Номер 19, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.19. При каких значениях параметра $a$ уравнение $3x^2 + 7ax + 5 = 0$ имеет два корня?

Данное уравнение $3x^2 + 7ax + 5 = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня в том и только в том случае, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

В нашем случае коэффициенты квадратного уравнения равны: $A=3$, $B=7a$, $C=5$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (7a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 49a^2 - 60$

Условие наличия двух различных корней — $D > 0$. Составим и решим неравенство:

$49a^2 - 60 > 0$

$49a^2 > 60$

$a^2 > \frac{60}{49}$

Неправильную дробь $\frac{60}{49}$ можно представить в виде смешанного числа, выделив целую часть: $\frac{60}{49} = 1\frac{11}{49}$.

Решением неравенства $a^2 > \frac{60}{49}$ является совокупность двух условий:

$a < -\sqrt{\frac{60}{49}}$ или $a > \sqrt{\frac{60}{49}}$

Упростим значение корня:

$\sqrt{\frac{60}{49}} = \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 15}}{7} = \frac{2\sqrt{15}}{7}$

Следовательно, искомые значения параметра $a$ удовлетворяют совокупности:

$a < -\frac{2\sqrt{15}}{7}$ или $a > \frac{2\sqrt{15}}{7}$

В виде интервалов это записывается так: $a \in (-\infty; -\frac{2\sqrt{15}}{7}) \cup (\frac{2\sqrt{15}}{7}; \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{2\sqrt{15}}{7}) \cup (\frac{2\sqrt{15}}{7}; \infty)$.