Номер 22, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.22. При каких значениях параметра $a$ только один из корней уравнения $x^2 + (a + 3)x + |a| - 3 = 0$ равен нулю?

Условие, что один из корней уравнения равен нулю, означает, что $x=0$ является решением этого уравнения. Подставим значение $x=0$ в исходное уравнение:

$x^2 + (a+3)x + |a| - 3 = 0$

$0^2 + (a+3) \cdot 0 + |a| - 3 = 0$

$|a| - 3 = 0$

Из последнего равенства следует, что $|a| = 3$. Это уравнение имеет два решения для параметра $a$: $a = 3$ или $a = -3$.

По условию задачи, только один из корней должен быть равен нулю. Это означает, что второй корень должен быть отличен от нуля. Рассмотрим оба найденных значения параметра $a$.

1. Случай $a = 3$. Подставим это значение в исходное уравнение:

   $x^2 + (3+3)x + |3| - 3 = 0$

   $x^2 + 6x + 3 - 3 = 0$

   $x^2 + 6x = 0$

   $x(x+6) = 0$

   Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$. В этом случае только один корень равен нулю, что удовлетворяет условию задачи.

2. Случай $a = -3$. Подставим это значение в исходное уравнение:

   $x^2 + (-3+3)x + |-3| - 3 = 0$

   $x^2 + 0 \cdot x + 3 - 3 = 0$

   $x^2 = 0$

   Это уравнение имеет один корень $x=0$ кратности 2. То есть, оба корня равны нулю ($x_1=x_2=0$). Это противоречит условию, что только один корень равен нулю.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, это $a=3$.

Ответ: 3.