Номер 26, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.26. При каких значениях параметра $a$ больший корень уравнения $x^2 + 4x - (a-1)(a-5) = 0$ принадлежит промежутку $[0, 1]$?

Для решения задачи найдем корни данного квадратного уравнения $x^2 + 4x - (a-1)(a-5) = 0$.

Это уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где коэффициенты равны:

• $A = 1$
• $B = 4$
• $C = -(a-1)(a-5) = -(a^2 - 6a + 5) = -a^2 + 6a - 5$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(a^2 - 6a + 5))$

$D = 16 + 4(a^2 - 6a + 5)$

$D = 16 + 4a^2 - 24a + 20$

$D = 4a^2 - 24a + 36$

Полученное выражение является полным квадратом. Вынесем 4 за скобки:

$D = 4(a^2 - 6a + 9) = 4(a-3)^2 = (2(a-3))^2$

Так как дискриминант $D = (2(a-3))^2$ всегда неотрицателен ($D \ge 0$) при любых действительных значениях параметра $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{(2(a-3))^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm |2(a-3)|}{2} = \frac{-4 \pm 2|a-3|}{2} = -2 \pm |a-3|$

Таким образом, мы получили два корня:

$x_1 = -2 - |a-3|$

$x_2 = -2 + |a-3|$

Чтобы определить больший корень, сравним $x_1$ и $x_2$. Поскольку модуль $|a-3|$ всегда неотрицателен, очевидно, что $-2 + |a-3| \ge -2 - |a-3|$.

Следовательно, больший корень уравнения это $x_{больший} = -2 + |a-3|$.

Согласно условию задачи, больший корень должен принадлежать промежутку $[0, 1]$. Запишем это требование в виде двойного неравенства:

$0 \le x_{больший} \le 1$

$0 \le -2 + |a-3| \le 1$

Для решения этого неравенства прибавим 2 ко всем его частям:

$0 + 2 \le |a-3| \le 1 + 2$

$2 \le |a-3| \le 3$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} |a-3| \ge 2 \\ |a-3| \le 3 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе.

1. Решим $|a-3| \ge 2$.
Это неравенство распадается на совокупность двух неравенств:$a-3 \ge 2$ или $a-3 \le -2$.
Отсюда получаем: $a \ge 5$ или $a \le 1$.
Решением является объединение промежутков: $a \in (-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$.

2. Решим $|a-3| \le 3$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:$-3 \le a-3 \le 3$.
Прибавим 3 ко всем частям: $0 \le a \le 6$.
Решением является промежуток: $a \in [0; 6]$.

Для нахождения итогового решения для параметра $a$ необходимо найти пересечение решений, полученных в пунктах 1 и 2:

$a \in \left( (-\infty; 1] \cup [5; +\infty) \right) \cap [0; 6]$

Рассмотрим пересечение для каждого промежутка из объединения:

• $(-\infty; 1] \cap [0; 6] = [0; 1]$
• $[5; +\infty) \cap [0; 6] = [5; 6]$

Объединяя полученные результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in [0; 1] \cup [5; 6]$.