Номер 30, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.30. При каких значениях параметра a уравнения $x^2 + ax + 8 = 0$ и $x^2 + x + a = 0$ имеют хотя бы один общий корень?

Пусть $x_0$ — общий корень данных уравнений. Это означает, что значение $x_0$ является решением для каждого из уравнений. Таким образом, мы можем составить систему уравнений:$$ \begin{cases} x_0^2 + ax_0 + 8 = 0 & (1) \\ x_0^2 + x_0 + a = 0 & (2) \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от члена $x_0^2$:$$ (x_0^2 + ax_0 + 8) - (x_0^2 + x_0 + a) = 0 $$$$ ax_0 - x_0 + 8 - a = 0 $$Сгруппируем члены, содержащие $x_0$:$$ x_0(a - 1) = a - 8 $$

Теперь необходимо рассмотреть два возможных случая для параметра $a$.

Случай 1: $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.
В этом случае уравнение принимает вид $x_0 \cdot 0 = 1 - 8$, что равносильно $0 = -7$. Это равенство неверно. Следовательно, при $a = 1$ у уравнений не может быть общих корней.

Случай 2: $a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
В этом случае мы можем выразить $x_0$ через $a$:$$ x_0 = \frac{a - 8}{a - 1} $$

Поскольку $x_0$ является корнем, мы можем подставить это выражение в любое из исходных уравнений. Подставим его во второе уравнение ($x_0^2 + x_0 + a = 0$), так как оно выглядит проще:$$ \left(\frac{a - 8}{a - 1}\right)^2 + \left(\frac{a - 8}{a - 1}\right) + a = 0 $$

Чтобы решить это уравнение относительно $a$, умножим все его члены на $(a - 1)^2$. Так как мы рассматриваем случай $a \neq 1$, это выражение не равно нулю.$$ (a - 8)^2 + (a - 8)(a - 1) + a(a - 1)^2 = 0 $$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$$ (a^2 - 16a + 64) + (a^2 - a - 8a + 8) + a(a^2 - 2a + 1) = 0 $$$$ (a^2 - 16a + 64) + (a^2 - 9a + 8) + (a^3 - 2a^2 + a) = 0 $$$$ a^3 + (a^2 + a^2 - 2a^2) + (-16a - 9a + a) + (64 + 8) = 0 $$$$ a^3 - 24a + 72 = 0 $$

Мы получили кубическое уравнение. Целые корни такого уравнения (если они существуют) должны быть делителями свободного члена, то есть 72. Проверим некоторые из делителей: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, ...$
Подставим $a = -6$ в уравнение:$$ (-6)^3 - 24(-6) + 72 = -216 + 144 + 72 = -216 + 216 = 0 $$Это верное равенство, значит, $a = -6$ является корнем уравнения.

Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $a^3 - 24a + 72$ на двучлен $(a + 6)$. Это можно сделать, например, делением столбиком.$$ (a^3 - 24a + 72) \div (a + 6) = a^2 - 6a + 12 $$Таким образом, наше кубическое уравнение можно представить в виде произведения:$$ (a + 6)(a^2 - 6a + 12) = 0 $$

Это уравнение имеет решения, когда один из множителей равен нулю:
1. $a + 6 = 0 \implies a = -6$.
2. $a^2 - 6a + 12 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12$. Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственное действительное значение параметра $a$, при котором исходные уравнения имеют хотя бы один общий корень, это $a = -6$.

Ответ: -6.