Номер 29, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.29. При каких значениях параметра $a$ один из корней уравнения $(a^2 + a + 1)x^2 + (a - 1)x + a^2 = 0$ больше 3, а другой меньше 3?

Для того чтобы один корень квадратного уравнения был больше 3, а другой меньше 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 находилось между корнями этого уравнения.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = (a^2 + a + 1)x^2 + (a - 1)x + a^2$. Корни уравнения $f(x) = 0$ являются точками пересечения графика функции (параболы) с осью абсцисс.

Условие, что число 3 находится между корнями $x_1$ и $x_2$ (то есть $x_1 < 3 < x_2$), для параболы, заданной уравнением $y = Ax^2+Bx+C$, эквивалентно выполнению неравенства $A \cdot f(3) < 0$.

В данном уравнении коэффициент при $x^2$ равен $A = a^2 + a + 1$.
Исследуем знак этого выражения. Это квадратичная функция от параметра $a$. Найдем ее дискриминант:$D_A = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D_A < 0$) и старший коэффициент (при $a^2$) положителен (равен 1), выражение $a^2 + a + 1$ всегда положительно при любых действительных значениях $a$. Следовательно, $A = a^2 + a + 1 > 0$ для всех $a \in \mathbb{R}$.

Так как $A > 0$, условие $A \cdot f(3) < 0$ упрощается и становится эквивалентным неравенству $f(3) < 0$. Если это условие выполняется, то ветви параболы направлены вверх, а значение функции в точке $x=3$ отрицательно, что автоматически гарантирует наличие двух различных корней, между которыми и находится число 3.

Вычислим значение функции $f(x)$ в точке $x=3$:
$f(3) = (a^2 + a + 1) \cdot 3^2 + (a - 1) \cdot 3 + a^2$
$f(3) = 9(a^2 + a + 1) + 3(a - 1) + a^2$
$f(3) = 9a^2 + 9a + 9 + 3a - 3 + a^2$
$f(3) = 10a^2 + 12a + 6$

Теперь необходимо решить неравенство $f(3) < 0$:
$10a^2 + 12a + 6 < 0$
Разделим обе части неравенства на 2 для упрощения:
$5a^2 + 6a + 3 < 0$

Мы получили квадратное неравенство относительно параметра $a$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:
$D_a = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 36 - 60 = -24$.
Поскольку дискриминант этого трехчлена отрицателен ($D_a < 0$), а его старший коэффициент (5) положителен, трехчлен $5a^2 + 6a + 3$ принимает только положительные значения при любых действительных $a$.

Таким образом, неравенство $5a^2 + 6a + 3 < 0$ не имеет решений.

Ответ: Таких значений параметра $a$ не существует.