Номер 25, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.25. При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения $a^2 x^2 - ax - 2 = 0$ лежат вне отрезка $[-1; 1]$?

Рассмотрим данное уравнение: $a^2x^2 - ax - 2 = 0$.

Требуется найти все значения параметра $a$, при которых все корни этого уравнения лежат вне отрезка $[-1; 1]$, то есть для любого корня $x$ выполняется условие $x < -1$ или $x > 1$.

Случай 1: $a = 0$

При $a = 0$ уравнение приобретает вид: $0 \cdot x^2 - 0 \cdot x - 2 = 0$, что равносильно $-2 = 0$. Это равенство неверно, следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет корней. Если у уравнения нет корней, то условие о том, что "все корни лежат вне отрезка", считается выполненным (поскольку нет ни одного корня, который бы ему не удовлетворял). Таким образом, $a = 0$ является решением задачи.

Случай 2: $a \neq 0$

В этом случае уравнение является квадратным. Обозначим левую часть как функцию от $x$: $f(x) = a^2x^2 - ax - 2$.

Коэффициент при $x^2$ равен $a^2$. Так как $a \neq 0$, то $a^2 > 0$. Это означает, что графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения:

$$D = (-a)^2 - 4 \cdot a^2 \cdot (-2) = a^2 + 8a^2 = 9a^2$$

Поскольку $a \neq 0$, дискриминант $D = 9a^2$ всегда строго больше нуля ($D > 0$). Это гарантирует, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$.

Для того чтобы оба корня находились вне отрезка $[-1; 1]$, необходимо, чтобы сам отрезок $[-1; 1]$ целиком лежал между корнями. Учитывая, что ветви параболы направлены вверх, это условие равносильно тому, что значения функции $f(x)$ на концах отрезка, то есть в точках $x = -1$ и $x = 1$, должны быть отрицательными.

Получаем систему из двух неравенств:

$$ \begin{cases} f(-1) < 0 \\ f(1) < 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство $f(-1) < 0$:

$f(-1) = a^2(-1)^2 - a(-1) - 2 = a^2 + a - 2$.

Неравенство $a^2 + a - 2 < 0$. Корнями уравнения $a^2 + a - 2 = 0$ являются $a = -2$ и $a = 1$. Решением неравенства является интервал $a \in (-2; 1)$.

Решим второе неравенство $f(1) < 0$:

$f(1) = a^2(1)^2 - a(1) - 2 = a^2 - a - 2$.

Неравенство $a^2 - a - 2 < 0$. Корнями уравнения $a^2 - a - 2 = 0$ являются $a = -1$ и $a = 2$. Решением неравенства является интервал $a \in (-1; 2)$.

Найдем общее решение системы, для чего найдем пересечение полученных интервалов: $a \in (-2; 1) \cap (-1; 2)$.

Пересечением является интервал $a \in (-1; 1)$.

Итоговый результат

Объединим результаты, полученные для двух случаев:

• Из случая 1: $a = 0$.
• Из случая 2: $a \in (-1; 1)$.

Множество решений из второго случая $a \in (-1; 1)$ уже включает в себя решение из первого случая $a=0$.

Ответ: $a \in (-1; 1)$.