Номер 21, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.21. При каких значениях параметра $a$ только один из корней уравнения $3x^2 + x + 2a - 3 = 0$ равен нулю?

Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был равен нулю, необходимо, чтобы свободный член уравнения был равен нулю. В данном уравнении $3x^2 + x + 2a - 3 = 0$ свободный член — это выражение, не содержащее переменной $x$, то есть $(2a - 3)$.

Условие 1: Один из корней равен нулю.

Если один из корней, скажем $x_1$, равен 0, то при подстановке этого значения в уравнение оно должно обратиться в верное равенство:

$3(0)^2 + 0 + 2a - 3 = 0$

$0 + 0 + 2a - 3 = 0$

$2a - 3 = 0$

Решая это уравнение относительно $a$, получаем:

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

Условие 2: Второй корень не равен нулю.

Теперь необходимо убедиться, что при найденном значении $a$ второй корень уравнения не равен нулю, так как в задаче сказано "только один из корней". Подставим $a = \frac{3}{2}$ в исходное уравнение:

$3x^2 + x + 2\left(\frac{3}{2}\right) - 3 = 0$

$3x^2 + x + 3 - 3 = 0$

$3x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x + 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$3x + 1 = 0 \implies x_2 = -\frac{1}{3}$

Как мы видим, при $a = \frac{3}{2}$ корни уравнения равны 0 и $-\frac{1}{3}$. Один корень равен нулю, а второй отличен от нуля. Это полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $a = 1\frac{1}{2}$