Номер 15, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.15. При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$$\begin{cases} x + (a + 1)y = 1, \\ x + 2y = a \end{cases}$$

имеет бесконечно много решений?

Данная система является системой двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + (a+1)y = 1 \\ x + 2y = a \end{cases} $

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда уравнения в системе эквивалентны, то есть одно уравнение можно получить из другого умножением на некоторое число, не равное нулю. Геометрически это означает, что графики уравнений (прямые) совпадают.

Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ это условие выполняется, если коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $

В нашей системе:

• Первое уравнение: $A_1 = 1, B_1 = a+1, C_1 = 1$
• Второе уравнение: $A_2 = 1, B_2 = 2, C_2 = a$

Подставим эти коэффициенты в условие пропорциональности:

$ \frac{1}{1} = \frac{a+1}{2} = \frac{1}{a} $

Это тройное равенство должно выполняться одновременно. Разобьем его на два уравнения:

1) $ \frac{1}{1} = \frac{a+1}{2} $

2) $ \frac{a+1}{2} = \frac{1}{a} $

Решим первое уравнение:

$ 1 = \frac{a+1}{2} $

Умножим обе части на 2:

$ 2 = a+1 $

$ a = 2 - 1 $

$ a = 1 $

Теперь необходимо проверить, выполняется ли второе равенство при найденном значении $ a=1 $. Подставим $a=1$ во второе уравнение:

$ \frac{1+1}{2} = \frac{1}{1} $

$ \frac{2}{2} = 1 $

$ 1 = 1 $

Равенство истинно. Следовательно, при $a=1$ оба условия выполняются, и система имеет бесконечно много решений.

Для проверки подставим $a=1$ в исходную систему уравнений:

$ \begin{cases} x + (1+1)y = 1 \\ x + 2y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 2y = 1 \\ x + 2y = 1 \end{cases} $

Оба уравнения стали идентичными. Это подтверждает, что система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: $1$