Номер 12, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.12. Сколько решений может иметь система уравнений:

а) $\begin{cases} 2x + 7y = 5, \\ 4x + 3y = a; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - 3y = 7, \\ ax + 6y = 14; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x + ay = 8, \\ 3x + 5y = 6? \end{cases}$

Для анализа количества решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными вида $$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$ используются следующие условия, основанные на соотношениях коэффициентов:

• Одно единственное решение, если прямые, соответствующие уравнениям, пересекаются: $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$.
• Нет решений, если прямые параллельны и не совпадают: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.
• Бесконечно много решений, если прямые совпадают: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

а) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 7y = 5 \\ 4x + 3y = a \end{cases} $$ Проверим соотношение коэффициентов при переменных $x$ и $y$:
Отношение коэффициентов при $x$: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Отношение коэффициентов при $y$: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{7}{3}$.
Так как $\frac{1}{2} \neq \frac{7}{3}$, условие $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$ выполняется всегда, независимо от значения параметра $a$. Это означает, что система всегда будет иметь ровно одно решение.
Ответ: система может иметь только одно решение.

б) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ ax + 6y = 14 \end{cases} $$ Система будет иметь единственное решение, если $\frac{2}{a} \neq \frac{-3}{6}$.
Рассмотрим случай, когда система не имеет единственного решения, то есть когда коэффициенты при переменных пропорциональны: $\frac{2}{a} = \frac{-3}{6}$.
Из этого равенства находим $a$:
$\frac{2}{a} = -\frac{1}{2} \implies a = -4$.
Теперь при $a = -4$ проверим соотношение свободных членов:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$
Поскольку выполняется условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ (так как $-\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}$), то при $a = -4$ система не имеет решений.
Если же $a \neq -4$, то система имеет одно единственное решение.
Ответ: система может иметь одно решение (если $a \neq -4$) или не иметь решений (если $a = -4$).

в) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + ay = 8 \\ 3x + 5y = 6 \end{cases} $$ Система будет иметь единственное решение, если $\frac{2}{3} \neq \frac{a}{5}$.
Рассмотрим случай, когда система не имеет единственного решения, то есть когда коэффициенты при переменных пропорциональны: $\frac{2}{3} = \frac{a}{5}$.
Из этого равенства находим $a$:
$a = \frac{2 \cdot 5}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.
Теперь при $a = 3\frac{1}{3}$ проверим соотношение свободных членов:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{3}$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{10/3}{5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Поскольку выполняется условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ (так как $\frac{2}{3} \neq \frac{4}{3}$), то при $a = 3\frac{1}{3}$ система не имеет решений.
Если же $a \neq 3\frac{1}{3}$, то система имеет одно единственное решение.
Ответ: система может иметь одно решение (если $a \neq 3\frac{1}{3}$) или не иметь решений (если $a = 3\frac{1}{3}$).