Номер 8, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.8. При каких значениях a уравнение $(a^2 - 1)x = a - 1$ не имеет решений?

Данное уравнение $(a^2 - 1)x = a - 1$ является линейным уравнением относительно переменной $x$. Его можно представить в общем виде $kx = b$, где:

• Коэффициент при $x$: $k = a^2 - 1$
• Свободный член (правая часть): $b = a - 1$

Линейное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной $x$ равен нулю, а правая часть уравнения не равна нулю. Запишем эти условия в виде системы:$$ \begin{cases} k = 0 \\ b \neq 0 \end{cases} $$

Подставим в систему выражения для $k$ и $b$:$$ \begin{cases} a^2 - 1 = 0 \\ a - 1 \neq 0 \end{cases} $$

1. Решим первое уравнение системы:$$ a^2 - 1 = 0 $$Применим формулу разности квадратов:$$ (a - 1)(a + 1) = 0 $$Это уравнение имеет два корня: $a_1 = 1$ и $a_2 = -1$.

2. Проверим найденные значения $a$ на соответствие второму условию системы ($a - 1 \neq 0$):

• При $a = 1$:
  Правая часть уравнения равна $a - 1 = 1 - 1 = 0$.
  Условие $a - 1 \neq 0$ не выполняется. В этом случае исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, которое имеет бесконечное множество решений.
• При $a = -1$:
  Правая часть уравнения равна $a - 1 = -1 - 1 = -2$.
  Условие $a - 1 \neq 0$ выполняется, так как $-2 \neq 0$.
  В этом случае исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x = -2$. Это равенство не является верным ни при каком значении $x$, следовательно, уравнение не имеет решений.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, при котором уравнение не имеет решений, это $a = -1$.

14.8. Ответ: -1