Номер 4, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.4. При каких значениях $a$ уравнение $(2a + 3)x = 3a + 2$ имеет бесконечно много корней?

Рассмотрим данное уравнение: $(2a + 3)x = 3a + 2$.

Это линейное уравнение относительно переменной $x$. Общий вид линейного уравнения: $kx = b$.

В данном случае:

• коэффициент при $x$: $k = 2a + 3$
• свободный член: $b = 3a + 2$

Линейное уравнение имеет бесконечно много корней (решений) только в том случае, когда оно принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это означает, что и коэффициент при $x$, и свободный член должны быть одновременно равны нулю.

Составим систему уравнений для нахождения такого значения $a$:

$ \begin{cases} 2a + 3 = 0 \\ 3a + 2 = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы относительно $a$.

Из первого уравнения:

$2a = -3$

$a = -\frac{3}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы выделить целую часть:

$a = -1\frac{1}{2}$

Теперь решим второе уравнение системы:

$3a = -2$

$a = -\frac{2}{3}$

Для того чтобы исходное уравнение имело бесконечно много корней, необходимо, чтобы оба условия выполнялись для одного и того же значения $a$. Однако мы получили два разных значения: $a = -1\frac{1}{2}$ и $a = -\frac{2}{3}$.

Поскольку система уравнений не имеет решения (так как $-1\frac{1}{2} \neq -\frac{2}{3}$), не существует такого значения параметра $a$, при котором данное уравнение имело бы бесконечно много корней.

Ответ: Таких значений $a$ не существует.