Номер 7, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.7. При каких значениях параметра $b$ уравнение $2 + 4x - bx = 3 + x$ имеет положительное решение?

Для того чтобы найти значения параметра b, при которых данное уравнение имеет положительное решение, необходимо сначала выразить переменную x через параметр b.

Дано уравнение:

$$2 + 4x - bx = 3 + x$$

Перенесем все слагаемые, содержащие x, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую часть:

$$4x - bx - x = 3 - 2$$

Приведем подобные слагаемые и вынесем x за скобки в левой части:

$$x(4 - b - 1) = 1$$

$$x(3 - b) = 1$$

Дальнейшее решение зависит от значения выражения в скобках, $(3 - b)$.

1. Случай, когда $3 - b \neq 0$ (то есть, $b \neq 3$).

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(3 - b)$, чтобы выразить x:

$$x = \frac{1}{3 - b}$$

По условию задачи, решение x должно быть положительным, то есть $x > 0$. Составим неравенство:

$$\frac{1}{3 - b} > 0$$

Дробь будет положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Так как числитель равен 1 (положительное число), знаменатель также должен быть положительным:

$$3 - b > 0$$

Решим это неравенство относительно b:

$$3 > b$$

Или, что то же самое:

$$b < 3$$

2. Случай, когда $3 - b = 0$ (то есть, $b = 3$).

Подставим значение $b = 3$ в уравнение $x(3 - b) = 1$:

$$x(3 - 3) = 1$$

$$x \cdot 0 = 1$$

$$0 = 1$$

Полученное равенство является неверным. Это означает, что при $b = 3$ уравнение не имеет решений, и, следовательно, не имеет и положительных решений.

Объединяя результаты обоих случаев, приходим к выводу, что уравнение имеет положительное решение только при выполнении условия $b < 3$.

Ответ: Уравнение имеет положительное решение при $b \in (-\infty; 3)$.