Номер 20, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.20. При каких значениях параметра $a$ уравнение $2ax^2 - 8x + 8 = 0$ имеет один корень?

Данное уравнение $2ax^2 - 8x + 8 = 0$ является уравнением с параметром. Оно будет иметь один корень в двух различных случаях, которые необходимо рассмотреть отдельно.

Случай 1: Уравнение является линейным
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. В данном уравнении этот коэффициент равен $2a$. Приравняем его к нулю, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:
$2a = 0$
$a = 0$
Теперь подставим $a=0$ в исходное уравнение, чтобы проверить, сколько корней оно будет иметь:
$2(0)x^2 - 8x + 8 = 0$
$0 \cdot x^2 - 8x + 8 = 0$
$-8x + 8 = 0$
$8x = 8$
$x = 1$
При $a=0$ уравнение становится линейным и имеет ровно один корень.
Ответ: $a = 0$.

Случай 2: Уравнение является квадратным и имеет один корень
Это происходит, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \neq 0$), а дискриминант $D$ равен нулю.
Формула дискриминанта для общего квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет вид: $D = B^2 - 4AC$.
Для нашего уравнения $2ax^2 - 8x + 8 = 0$ коэффициенты равны:
$A = 2a$, $B = -8$, $C = 8$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot (2a) \cdot 8$
$D = 64 - 64a$
Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение $a$, при котором уравнение имеет один корень:
$64 - 64a = 0$
$64a = 64$
$a = \frac{64}{64}$
$a = 1$
Это значение удовлетворяет условию $a \neq 0$. Следовательно, при $a = 1$ уравнение является квадратным и имеет один корень.
Ответ: $a = 1$.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы находим все значения параметра $a$, при которых данное уравнение имеет один корень. Это происходит при $a=0$ и $a=1$.