Номер 27, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.27. Найдите все значения параметра $a$, при которых корни уравнения $ax^2 - (a+1)x + a + 3 = 0$ имеют разные знаки.

Для того чтобы корни квадратного уравнения имели разные знаки (один положительный, другой отрицательный), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Уравнение должно быть квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю.
2. Произведение корней должно быть отрицательным.

Рассмотрим данное уравнение: $ax^2 - (a + 1)x + a + 3 = 0$.

1. Условие, что уравнение является квадратным.

Коэффициент при $x^2$ равен $a$. Следовательно, чтобы уравнение было квадратным и имело два корня, должно выполняться условие $a \neq 0$.

2. Условие, что корни имеют разные знаки.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Если они имеют разные знаки, то их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть отрицательным.

По теореме Виета, произведение корней квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ равно $C/A$. В нашем случае $A=a$, $B=-(a+1)$, $C=a+3$.

Следовательно, произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{a+3}{a}$

Нам нужно, чтобы это произведение было меньше нуля:

$\frac{a+3}{a} < 0$

Проверка существования действительных корней.

Когда произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$ отрицательно, это автоматически гарантирует, что уравнение имеет два различных действительных корня. Это происходит потому, что дискриминант $D = B^2 - 4AC$ в этом случае всегда положителен. Действительно, если $\frac{C}{A} < 0$, то $AC < 0$, и тогда $-4AC > 0$. Так как $B^2 \ge 0$, то $D = B^2 - 4AC > 0$.

Таким образом, единственное условие, которое нам нужно решить (с учетом $a \neq 0$) — это неравенство $\frac{a+3}{a} < 0$.

Решение неравенства.

Решим неравенство $\frac{a+3}{a} < 0$ методом интервалов.

Найдем значения $a$, при которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:

• Числитель: $a+3=0 \implies a = -3$
• Знаменатель: $a=0$

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$ и $(0; \infty)$. Определим знак дроби в каждом из них:

• Если $a < -3$ (например, $a=-4$), то $\frac{-4+3}{-4} = \frac{-1}{-4} > 0$.
• Если $-3 < a < 0$ (например, $a=-1$), то $\frac{-1+3}{-1} = \frac{2}{-1} < 0$.
• Если $a > 0$ (например, $a=1$), то $\frac{1+3}{1} = \frac{4}{1} > 0$.

Неравенство выполняется для интервала $(-3; 0)$.

Итак, все значения параметра $a$, при которых корни уравнения имеют разные знаки, принадлежат интервалу $(-3; 0)$.

Ответ: $a \in (-3; 0)$.