Номер 31, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.31. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2 + ax - a = 0$ имеет два действительных корня $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющих условию $ax_1 < x_2^2$?

Для того чтобы данное уравнение имело два действительных корня, удовлетворяющих указанному условию, необходимо выполнение двух требований:

1. Дискриминант квадратного уравнения должен быть строго положительным, что обеспечит наличие двух различных действительных корней.
2. Эти корни должны удовлетворять неравенству $ax_1 < x_2^2$.

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Условие существования двух различных действительных корней

Дано квадратное уравнение $x^2 + ax - a = 0$. Его дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны $b=a$ и $c=-a$.

$D = a^2 - 4(1)(-a) = a^2 + 4a$

Для наличия двух различных действительных корней необходимо, чтобы $D > 0$.

$a^2 + 4a > 0$

$a(a + 4) > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $a \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.

2. Анализ условия $ax_1 < x_2^2$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета, их сумма и произведение равны:

• $x_1 + x_2 = -a$
• $x_1 x_2 = -a$

Так как $x_2$ является корнем уравнения, он удовлетворяет равенству $x_2^2 + ax_2 - a = 0$. Из этого равенства можно выразить $x_2^2$:

$x_2^2 = a - ax_2$

Теперь подставим это выражение в исходное неравенство $ax_1 < x_2^2$:

$ax_1 < a - ax_2$

Перенесем слагаемое с $x_2$ в левую часть:

$ax_1 + ax_2 < a$

$a(x_1 + x_2) < a$

Воспользуемся теоремой Виета и заменим сумму корней $x_1 + x_2$ на $-a$:

$a(-a) < a$

$-a^2 < a$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы решить неравенство:

$0 < a^2 + a$

$a(a + 1) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $a \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Заметим, что условие в задаче сформулировано как существование корней $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющих неравенству. Если бы мы поменяли их местами, то получили бы $ax_2 < x_1^2$, что привело бы к тому же самому конечному неравенству для параметра $a$, так как $x_1 + x_2 = x_2 + x_1$.

3. Нахождение итогового решения

Искомые значения параметра $a$ должны удовлетворять обоим найденным условиям одновременно. Следовательно, мы должны найти пересечение множеств решений:

Условие 1: $a \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$

Условие 2: $a \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$

Найдем пересечение этих множеств:$$( (-\infty, -4) \cup (0, \infty) ) \cap ( (-\infty, -1) \cup (0, \infty) )$$Рассматривая числовую ось, видим, что общими для обоих условий являются интервалы, где $a$ строго меньше $-4$ и где $a$ строго больше $0$.

Таким образом, итоговое множество значений для параметра $a$ есть $(-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.