Номер 38, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.38. При каких значениях параметра $a$ неравенство $2x^2 - 4a^2x - a^2 + 1 > 0$ справедливо для любых $|x| < 1$?

Заданное неравенство $2x^2 - 4a^2x - a^2 + 1 > 0$ должно выполняться для всех значений $x$, удовлетворяющих условию $|x| < 1$, то есть для всех $x \in (-1, 1)$.

Рассмотрим левую часть неравенства как квадратичную функцию от $x$: $f(x) = 2x^2 - 4a^2x - a^2 + 1$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля.

Для того чтобы данная парабола была полностью выше оси абсцисс на интервале $(-1, 1)$, ее наименьшее значение на этом интервале должно быть строго положительным.

Найдем координату вершины параболы по оси $x$:$x_v = -\frac{-4a^2}{2 \cdot 2} = \frac{4a^2}{4} = a^2$.

Положение наименьшего значения функции на интервале $(-1, 1)$ зависит от расположения вершины $x_v$ относительно этого интервала. Рассмотрим возможные случаи.

1. Вершина параболы находится внутри интервала $(-1, 1)$.Это происходит, когда $-1 < x_v < 1$. Поскольку $x_v = a^2 \ge 0$, это условие эквивалентно $0 \le a^2 < 1$. В этом случае наименьшее значение функции на интервале достигается в вершине. Следовательно, должно выполняться условие $f(x_v) > 0$:$f(a^2) = 2(a^2)^2 - 4a^2(a^2) - a^2 + 1 > 0$$2a^4 - 4a^4 - a^2 + 1 > 0$$-2a^4 - a^2 + 1 > 0$$2a^4 + a^2 - 1 < 0$Для решения этого неравенства сделаем замену $t = a^2$. С учетом условия $0 \le a^2 < 1$, имеем $0 \le t < 1$. Неравенство принимает вид:$2t^2 + t - 1 < 0$Найдем корни уравнения $2t^2 + t - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(2)(-1) = 9$. Корни: $t_1 = \frac{-1-3}{4} = -1$ и $t_2 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$. Решением неравенства $2t^2 + t - 1 < 0$ является интервал $-1 < t < \frac{1}{2}$. Учитывая ограничение $0 \le t < 1$, получаем $0 \le t < \frac{1}{2}$. Возвращаемся к переменной $a$:$0 \le a^2 < \frac{1}{2}$Это неравенство эквивалентно $-\frac{1}{\sqrt{2}} < a < \frac{1}{\sqrt{2}}$, или $a \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Найденное множество значений удовлетворяет исходному предположению $a^2 < 1$, так как $\frac{1}{2} < 1$.

2. Вершина параболы находится вне интервала $(-1, 1)$.Поскольку $x_v = a^2 \ge 0$, это означает, что $x_v \ge 1$, то есть $a^2 \ge 1$. В этом случае функция $f(x)$ монотонно убывает на всем интервале $(-1, 1)$. Наименьшее значение (точнее, инфимум) на этом интервале будет при $x \to 1$ и равно $f(1)$. Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы $f(1) \ge 0$.$f(1) = 2(1)^2 - 4a^2(1) - a^2 + 1 = 2 - 4a^2 - a^2 + 1 = 3 - 5a^2$. Решим неравенство $3 - 5a^2 \ge 0$:$5a^2 \le 3$$a^2 \le \frac{3}{5}$Теперь мы имеем систему условий для $a^2$:$\begin{cases} a^2 \ge 1 \\ a^2 \le \frac{3}{5} \end{cases}$Эта система не имеет решений, так как $\frac{3}{5} < 1$.

Таким образом, единственные значения параметра $a$, удовлетворяющие условию задачи, получены в первом случае.

Ответ: $a \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.