Номер 40, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.40. При каких значениях параметра $m$ из неравенства $x^2 - (3m + 1)x + m > 0$ следует неравенство $x > 1$?

Формулировка "из неравенства А следует неравенство Б" означает, что множество решений неравенства А должно являться подмножеством множества решений неравенства Б. Однако в данном случае буквальная трактовка приводит к тому, что задача не имеет решений. Более вероятно, что имеется в виду стандартная для задач с параметрами постановка: найти все значения параметра $m$, при которых неравенство $x^2 - (3m + 1)x + m > 0$ выполняется для всех $x$, удовлетворяющих неравенству $x > 1$.

Итак, будем решать задачу в следующей формулировке: найти все значения параметра $m$, при которых неравенство $x^2 - (3m + 1)x + m > 0$ справедливо для всех $x \in (1, +\infty)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - (3m + 1)x + m$. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Для того чтобы неравенство $f(x) > 0$ выполнялось для всех $x > 1$, необходимо и достаточно, чтобы парабола на интервале $(1, +\infty)$ находилась строго выше оси абсцисс. Это возможно в двух случаях:

1. Уравнение $f(x) = 0$ не имеет действительных корней.
2. Уравнение $f(x) = 0$ имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$ (пусть $x_1 \le x_2$), и оба они не больше 1, то есть $x_2 \le 1$.

1. Случай отсутствия действительных корней.

Для этого дискриминант квадратного уравнения должен быть отрицательным: $D < 0$.
$D = (-(3m + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = (3m + 1)^2 - 4m = 9m^2 + 6m + 1 - 4m = 9m^2 + 2m + 1$.
Чтобы определить знак этого выражения, рассмотрим его как квадратичную функцию от $m$. Найдем дискриминант для $9m^2 + 2m + 1 = 0$:
$D_m = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 4 - 36 = -32$.
Так как $D_m < 0$ и старший коэффициент (9) положителен, выражение $9m^2 + 2m + 1$ всегда положительно. Следовательно, $D > 0$ при любых значениях $m$. Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ всегда имеет два различных действительных корня, и первый случай невозможен.

2. Случай, когда оба корня не больше 1 ($x_1 \le x_2 \le 1$).

Для параболы с ветвями вверх это условие эквивалентно выполнению системы из двух условий:

• Вершина параболы находится в точке $x_v$, абсцисса которой меньше 1: $x_v < 1$.
• Значение функции в точке $x=1$ является неотрицательным: $f(1) \ge 0$.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_v = \frac{-(-(3m+1))}{2 \cdot 1} = \frac{3m+1}{2}$.

Составим систему неравенств:

$$\begin{cases} x_v < 1 \\ f(1) \ge 0\end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$\frac{3m+1}{2} < 1$

$3m+1 < 2$

$3m < 1$

$m < \frac{1}{3}$

Теперь решим второе неравенство. Найдем $f(1)$:

$f(1) = 1^2 - (3m+1) \cdot 1 + m = 1 - 3m - 1 + m = -2m$.

$-2m \ge 0$

$m \le 0$

Для нахождения итогового решения нужно найти пересечение решений двух неравенств:

$$\begin{cases} m < \frac{1}{3} \\ m \le 0\end{cases}$$

Пересечением этих множеств является промежуток $m \le 0$.

Ответ: $m \in (-\infty, 0]$.