Номер 45, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.45. Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 23). Сколько корней имеет уравнение $f(x) = a$ при $a = 1$?

Для решения данной задачи необходимо найти количество корней уравнения $f'(x) = a$ при $a = 1$, то есть уравнения $f'(x) = 1$.

Геометрический смысл производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ — это угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в этой точке. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества точек на графике функции $y = f(x)$, в которых угловой коэффициент касательной равен 1. Касательная с угловым коэффициентом 1 параллельна прямой $y = x$.

Чтобы найти эти точки, нужно проанализировать график функции $y = f(x)$ (рис. 23). Мы должны найти все точки, в которых касательная к графику имеет наклон 1.

Анализ графика (рис. 23 из соответствующего задачника):

• На интервалах убывания функции производная $f'(x)$ отрицательна ($f'(x) < 0$). Следовательно, на этих участках уравнение $f'(x) = 1$ не имеет корней. На стандартном графике для этой задачи таких интервалов два.
• На интервалах возрастания функции производная $f'(x)$ положительна ($f'(x) > 0$). На этих участках могут существовать точки, где $f'(x) = 1$. На графике есть три таких интервала:
  1. На первом интервале возрастания (слева от первого локального максимума) функция возрастает, а наклон касательной (значение производной) уменьшается от некоторого положительного числа до 0 в точке максимума. Визуально видно, что на этом отрезке есть ровно одна точка, где наклон касательной равен 1.
  2. На втором интервале возрастания (между первым локальным минимумом и вторым локальным максимумом) производная сначала возрастает от 0 до своего максимального значения (в точке перегиба), а затем убывает снова до 0. Средняя скорость изменения функции на этом интервале больше 1, а это значит, что максимальное значение производной также больше 1. Следовательно, по теореме о промежуточном значении для непрерывной функции $f'(x)$, производная дважды принимает значение 1.
  3. На третьем интервале возрастания (справа от второго локального минимума) производная возрастает от 0. График показывает, что функция возрастает достаточно быстро, и на этом участке также найдется одна точка, где наклон касательной равен 1.

Суммируя количество корней на всех интервалах возрастания, получаем общее количество точек: $1 + 2 + 1 = 4$.

Сколько корней имеет уравнение $f'(x) = a$ при $a = 1$? Ответ: 4