Номер 52, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.52. Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 32). При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения $f(x) = a$ положительны?

Рис. 32

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Корни уравнения $f(x) = a$ представляют собой абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Согласно условию, все корни уравнения должны быть положительными. Это означает, что все точки пересечения прямой $y = a$ с графиком функции $y = f(x)$ должны располагаться в правой полуплоскости, то есть их абсциссы должны удовлетворять неравенству $x > 0$.

Проанализируем график функции $y = f(x)$ и его пересечения с прямой $y = a$ при различных значениях параметра $a$.

1. Из графика видно, что при $x \le 0$ (в левой полуплоскости и на оси ординат) функция $y = f(x)$ принимает значения, не превышающие 1. В точке $x=0$ значение функции равно $f(0) = 1$.
2. Если мы проведем горизонтальную прямую $y = a$ при $a \le 1$, она обязательно пересечет график функции в точке с неположительной абсциссой ($x \le 0$).
   • При $a = 1$ одним из корней будет $x = 0$, который не является положительным числом.
   • При $a < 1$ всегда будет существовать по крайней мере один корень $x < 0$, так как левая ветвь графика уходит в $-\infty$.
   Следовательно, значения $a \le 1$ не удовлетворяют условию задачи.
3. Рассмотрим случай, когда $a > 1$. Прямая $y = a$ не будет иметь точек пересечения с той частью графика, где $x \le 0$. Таким образом, если при таких $a$ корни существуют, они все будут положительными.
4. Теперь определим, при каких $a > 1$ уравнение $f(x) = a$ имеет решения. Решения существуют, пока прямая $y=a$ пересекает график функции. Из графика видно, что для $x > 0$ функция достигает своего максимального значения. Судя по отметкам на оси $y$ (отметка "1" и следующие за ней три точки, расположенные на равном расстоянии), можно сделать вывод, что максимальное значение функции равно $4$.
5. При $1 < a < 4$ прямая $y=a$ пересекает график в двух точках, и обе эти точки имеют положительные абсциссы. Значит, все корни положительны.
6. При $a = 4$ прямая $y=a$ касается графика в его наивысшей точке (вершине). Эта точка касания имеет одну положительную абсциссу, следовательно, уравнение имеет один положительный корень. Это значение $a$ также подходит.
7. При $a > 4$ прямая $y=a$ расположена выше всего графика и не имеет с ним точек пересечения. В этом случае уравнение $f(x)=a$ не имеет корней.

Объединяя все подходящие значения, мы приходим к выводу, что все корни уравнения $f(x)=a$ являются положительными, когда параметр $a$ принадлежит интервалу $(1, 4]$.

Ответ: $a \in (1, 4]$.