Номер 49, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.49. Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 29). При каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет 3 решения?

Рис. 29

Для решения задачи необходимо найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $f(x) = a$ имеет ровно 3 решения. Геометрически это означает, что горизонтальная прямая $y=a$ должна пересекать график функции $y=f(x)$ ровно в трех точках.

Проанализируем график функции $y=f(x)$, представленный на рисунке. Это непрерывная функция, состоящая из нескольких линейных сегментов. График имеет два локальных максимума (пика) и два локальных минимума (впадины). На обоих концах (при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$) функция убывает, стремясь к $-\infty$.

Будем мысленно перемещать горизонтальную прямую $y=a$ снизу вверх и считать количество точек пересечения с графиком $y=f(x)$:

• Если прямая $y=a$ находится ниже самой глубокой впадины (глобального минимума), она будет пересекать только две крайние убывающие ветви графика. Уравнение будет иметь 2 решения.
• Если прямая $y=a$ касается графика в точке глобального минимума, она пересечет график в этой точке касания и на двух крайних ветвях. Для этого необходимо, чтобы глобальный минимум был единственным. В этом случае уравнение будет иметь 3 решения.
• Если прямая $y=a$ проходит между двумя минимумами (если они находятся на разной высоте), она будет пересекать график в 4 или более точках.
• Если прямая $y=a$ касается графика в двух точках глобального минимума (если обе впадины имеют одинаковую минимальную высоту), она пересечет график в двух точках касания и на двух крайних ветвях. Уравнение будет иметь 4 решения.
• Если прямая $y=a$ находится выше минимумов, но ниже самого высокого пика (глобального максимума), она будет пересекать график в 4, 5 или 6 точках в зависимости от своего положения относительно других локальных экстремумов и точки $(0, 1)$.
• Если прямая $y=a$ касается графика в точке глобального максимума, она пересечет график в этой точке касания и на двух крайних ветвях. Уравнение будет иметь 3 решения.
• Если прямая $y=a$ находится выше глобального максимума, она будет пересекать только две крайние убывающие ветви графика. Уравнение будет иметь 2 решения.

Таким образом, уравнение $f(x) = a$ имеет ровно 3 решения в двух случаях:

1. Когда значение $a$ равно ординате глобального максимума функции.
2. Когда значение $a$ равно ординате глобального минимума функции, при условии, что этот минимум достигается только в одной точке.

В тексте вопроса используется множественное число "при каких значениях", что позволяет предположить, что таких значений параметра $a$ несколько. Это означает, что на графике есть и уникальный глобальный максимум, и уникальный глобальный минимум. Следовательно, две впадины на графике должны находиться на разной высоте, несмотря на то, что визуально они могут казаться одинаковыми.

Теперь определим эти значения по графику, используя отметку $1$ на оси ординат как единицу масштаба:

• Глобальный максимум: Самый высокий пик на графике находится слева от оси $y$. Его высота, судя по масштабу, равна 2.
• Глобальный минимум: На графике две впадины. Их высота визуально оценивается как 0.5. Поскольку мы пришли к выводу, что должен быть уникальный глобальный минимум, одна из впадин должна быть ниже другой. Наименьшее значение, которое можно предположить по рисунку, это 0.5.

Следовательно, искомые значения параметра $a$:

$a_1 = 2$ (ордината глобального максимума)
$a_2 = 0.5$ (ордината глобального минимума)

Ответ: Уравнение $f(x)=a$ имеет 3 решения при $a = 2$ и $a = 0.5$.