Номер 56, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.56. Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 36). При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения $f(x) = a$ принадлежат отрезку $[1; 4]$?

Рис. 36

Для решения задачи необходимо определить, при каких значениях параметра $a$ горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $y=f(x)$ только в тех точках, абсциссы которых принадлежат отрезку $[1; 4]$.

Это означает, что множество всех корней уравнения $f(x)=a$ должно быть подмножеством отрезка $[1; 4]$. Будем исходить из того, что корни должны существовать. Таким образом, нам нужно найти такие значения $a$, которые принадлежат множеству значений функции на отрезке $[1; 4]$, но не принадлежат множеству значений функции вне этого отрезка.

Обозначим:

• $R_{in} = \{f(x) \mid x \in [1; 4]\}$ — множество значений функции на отрезке $[1; 4]$.
• $R_{out} = \{f(x) \mid x \notin [1; 4]\}$ — множество значений функции вне отрезка $[1; 4]$.

Искомые значения параметра $a$ должны удовлетворять условию $a \in R_{in} \setminus R_{out}$.

Проанализируем график функции, представленный на рисунке, для определения этих множеств. Будем считать, что деления на осях соответствуют целым числам.

1. Определение множества значений $R_{in}$ на отрезке $[1; 4]$.

На отрезке $[1; 4]$ функция $y=f(x)$ ведёт себя следующим образом:

• В точке $x=1$ значение функции $f(1)=0$.
• На интервале $(1; 3)$ функция положительна и достигает своего локального максимума. По графику, максимум достигается в точке $x=2$, и его значение $f(2)=2$.
• Начиная с $x=2$, функция убывает, пересекает ось $x$ и достигает локального минимума. По графику, минимум находится в точке с абсциссой $x \approx 3.5$, и его значение равно $f(3.5) = -1$.
• В точке $x=4$ значение функции $f(4)$ больше, чем в точке минимума, и составляет примерно $f(4) \approx -0.5$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ равно $-1$, а наибольшее равно $2$. Следовательно, множество значений $R_{in} = [-1; 2]$.

2. Определение множества значений $R_{out}$ вне отрезка $[1; 4]$.

Рассмотрим поведение функции для $x < 1$ (на рисунке видна часть графика примерно до $x=-3$).

• На этом участке функция имеет локальный максимум в точке $x=-2$, значение которого можно оценить как $f(-2)=1$.
• Также есть локальный минимум в точке $x=0$, где $f(0) \approx -2.2$. Судя по отметке $-1$ на оси $y$, можно предположить, что $f(0)=-2$.

Будем считать, что на видимой части графика представлены все глобальные экстремумы для $x < 1$. Тогда множество значений функции для $x < 1$ составляет примерно $[-2; 1]$. Для $x > 4$ график уходит вверх, но для нашего анализа достаточно рассмотреть ту часть, которая может повлиять на результат. Будем считать, что значения, принимаемые функцией вне отрезка $[1; 4]$, содержатся в диапазоне, определяемом видимыми экстремумами. Таким образом, множество значений $R_{out}$ приблизительно равно $[-2; 1]$.

3. Нахождение искомых значений параметра $a$.

Нам нужно найти $a \in R_{in} \setminus R_{out}$. Подставляем найденные диапазоны:$a \in [-1; 2] \setminus [-2; 1]$

Множество $[-2; 1]$ содержит в себе часть множества $[-1; 2]$, а именно отрезок $[-1; 1]$. Исключив этот отрезок из $[-1; 2]$, мы получим:$[-1; 2] \setminus [-1; 1] = (1; 2]$

Проверим граничные точки:

• Если $a=1$, то уравнение $f(x)=1$ имеет корень $x=-2$, который не принадлежит отрезку $[1; 4]$. Следовательно, $a=1$ не является решением.
• Если $a=2$, то уравнение $f(x)=2$ имеет единственный корень $x=2$, который принадлежит отрезку $[1; 4]$. Следовательно, $a=2$ является решением.

Таким образом, все корни уравнения $f(x)=a$ принадлежат отрезку $[1; 4]$ при $a \in (1; 2]$.

14.56. Для того чтобы все корни уравнения $f(x) = a$ принадлежали отрезку $[1; 4]$, необходимо, чтобы горизонтальная прямая $y=a$ пересекала график функции $y=f(x)$ только в точках с абсциссами из этого отрезка. Анализируя график, находим множество значений функции на отрезке $[1; 4]$, которое составляет $R_{in} = [-1; 2]$ (от минимума при $x \approx 3.5$ до максимума при $x=2$). Затем находим множество значений функции вне этого отрезка, $R_{out}$. Судя по графику, на котором видны экстремумы при $x=-2$ ($y=1$) и $x=0$ ($y=-2$), можно заключить, что $R_{out}$ содержит в себе отрезок $[-2; 1]$. Искомые значения $a$ должны принадлежать $R_{in}$, но не принадлежать $R_{out}$. Вычисляем разность множеств: $a \in [-1; 2] \setminus [-2; 1]$, что дает нам интервал $(1; 2]$. Ответ: $a \in (1; 2]$.