Номер 58, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.58. Решите относительно $x$ уравнение:

а) $|a + x| + |2 + x| = 2 - a;

б) $x + \sqrt{x} = a;

в) $2|x| + |x - 1| = a.$

а) $|a+x|+|2+x|=2-a$

Левая часть уравнения представляет собой сумму модулей, которая всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$2-a \ge 0 \implies a \le 2$.

При $a > 2$ уравнение не имеет решений.

Рассмотрим случай $a \le 2$. Для раскрытия модулей необходимо сравнить значения $x$ с точками $-a$ и $-2$. Так как $a \le 2$, то $-a \ge -2$. Разобьем числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $[-2; -a)$ и $[-a; \infty)$.

1. Если $x < -2$.
В этом случае $x+2 < 0$ и $x+a < -2+a \le 0$, значит оба выражения под модулем отрицательны.
$|a+x| = -(a+x)$
$|2+x| = -(2+x)$
Уравнение принимает вид:
$-(a+x) - (2+x) = 2-a$
$-a-x-2-x = 2-a$
$-2x-2 = 2$
$-2x = 4$
$x = -2$.
Полученное значение не входит в рассматриваемый интервал $x < -2$, следовательно, на этом интервале решений нет.

2. Если $-2 \le x < -a$.
В этом случае $x+2 \ge 0$ и $x+a < 0$.
$|a+x| = -(a+x)$
$|2+x| = 2+x$
Уравнение принимает вид:
$-(a+x) + (2+x) = 2-a$
$-a-x+2+x = 2-a$
$2-a = 2-a$.
Это тождество, верное для всех $x$ из данного интервала. Таким образом, решением является любой $x \in [-2, -a)$.

3. Если $x \ge -a$.
В этом случае $x+a \ge 0$. Так как $-a \ge -2$, то $x \ge -2$, и следовательно $x+2 \ge 0$.
$|a+x| = a+x$
$|2+x| = 2+x$
Уравнение принимает вид:
$(a+x) + (2+x) = 2-a$
$a+2x+2 = 2-a$
$2x = -2a$
$x = -a$.
Полученное значение $x=-a$ принадлежит рассматриваемому интервалу $x \ge -a$, значит, является решением.

Объединим результаты для $a \le 2$: из второго случая имеем $x \in [-2, -a)$, из третьего $x=-a$. Вместе это дает $x \in [-2, -a]$. Если $a=2$, то $x \in [-2, -2]$, то есть $x=-2$.

Ответ: при $a > 2$ корней нет; при $a \le 2$, $x \in [-2, -a]$.

б) $x+\sqrt{x}=a$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Так как под корнем может быть только неотрицательное число, $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, левая часть уравнения $x+\sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $a \ge 0$.

При $a < 0$ уравнение не имеет решений.

Рассмотрим случай $a \ge 0$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $x \ge 0$, то $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2+t=a$

$t^2+t-a=0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1+4a$

Так как $a \ge 0$, $D \ge 1 > 0$, поэтому уравнение всегда имеет два действительных корня:

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4a}}{2}$

Получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = \frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$ и $t_2 = \frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2}$

По условию замены $t \ge 0$.
Корень $t_2 = \frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2}$ всегда отрицателен, так как $\sqrt{1+4a} > 0$. Следовательно, он не является решением.
Корень $t_1 = \frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$. Поскольку $a \ge 0$, $\sqrt{1+4a} \ge \sqrt{1} = 1$, поэтому $-1+\sqrt{1+4a} \ge 0$, и $t_1 \ge 0$. Этот корень подходит.

Теперь вернемся к переменной $x$:

$\sqrt{x} = \frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = \left(\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\sqrt{1+4a} + (1+4a)}{4} = \frac{2+4a-2\sqrt{1+4a}}{4} = \frac{1+2a-\sqrt{1+4a}}{2}$

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a \ge 0$, $x = \frac{1+2a-\sqrt{1+4a}}{2}$.

в) $2|x|+|x-1|=a$

Левая часть уравнения всегда неотрицательна, поэтому при $a < 0$ решений нет. Рассмотрим функцию $f(x) = 2|x|+|x-1|$ и решим уравнение $f(x)=a$. Раскроем модули, рассмотрев три интервала, определяемые точками $x=0$ и $x=1$.

1. Если $x < 0$.
$|x| = -x$, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$f(x) = 2(-x) + (1-x) = -2x+1-x = -3x+1$.

2. Если $0 \le x < 1$.
$|x| = x$, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$f(x) = 2x + (1-x) = x+1$.

3. Если $x \ge 1$.
$|x| = x$, $|x-1| = x-1$.
$f(x) = 2x + (x-1) = 3x-1$.

Итак, функция имеет вид:
$f(x) = \begin{cases} -3x+1, & x < 0 \\ x+1, & 0 \le x < 1 \\ 3x-1, & x \ge 1 \end{cases}$

Найдем наименьшее значение функции. При $x<0$ функция убывает, при $x>0$ возрастает. Наименьшее значение достигается в точке $x=0$: $f(0) = 2|0|+|0-1|=1$. Таким образом, область значений функции $f(x)$ есть $[1, \infty)$.

Уравнение $f(x)=a$ имеет решения только при $a \ge 1$.
- При $a < 1$ решений нет.
- При $a=1$ уравнение имеет один корень $x=0$.
- При $a > 1$ уравнение может иметь два корня. Найдем их, решая уравнения на соответствующих интервалах.

Первый корень ищем на интервале $(-\infty, 0)$:
$-3x+1 = a \implies -3x = a-1 \implies x_1 = \frac{1-a}{3}$.
Так как $a>1$, то $1-a<0$, следовательно $x_1<0$. Этот корень существует при всех $a>1$.

Второй корень зависит от значения $a$.
Если $1 < a < 2$, второй корень находится на интервале $[0, 1)$:
$x+1 = a \implies x_2 = a-1$.
Если $a \ge 2$, второй корень находится на интервале $[1, \infty)$:
$3x-1 = a \implies 3x = a+1 \implies x_2 = \frac{a+1}{3}$.
При $a=2$ оба выражения для $x_2$ дают одно и то же значение: $x_2 = 2-1 = 1$ и $x_2 = (2+1)/3 = 1$.

Ответ:
при $a < 1$ корней нет;
при $a=1$, $x=0$;
при $1 < a < 2$, $x_1 = \frac{1-a}{3}$, $x_2 = a-1$;
при $a \ge 2$, $x_1 = \frac{1-a}{3}$, $x_2 = \frac{a+1}{3}$.