Номер 64, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.64. При каких значениях параметра $a$ уравнение $3 \cdot 2^x - 1 = 4a$ имеет корни?

Для того чтобы данное уравнение имело корни, необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых оно разрешимо относительно $x$.

Исходное уравнение:

$$3 \cdot 2^x - 1 = 4a$$

Выразим из этого уравнения показательную функцию $2^x$. Для этого сначала перенесем $-1$ в правую часть уравнения:

$$3 \cdot 2^x = 4a + 1$$

Теперь разделим обе части уравнения на 3:

$$2^x = \frac{4a + 1}{3}$$

Показательная функция $y = 2^x$ определена для любого действительного $x$ и ее область значений — все положительные действительные числа, то есть $y \in (0, +\infty)$.

Следовательно, уравнение $2^x = C$ имеет решение для $x$ тогда и только тогда, когда $C > 0$.

В нашем случае $C = \frac{4a + 1}{3}$. Таким образом, для существования корней уравнения необходимо и достаточно выполнения следующего неравенства:

$$\frac{4a + 1}{3} > 0$$

Решим это линейное неравенство относительно $a$. Умножим обе части на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$$4a + 1 > 0$$

Перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком:

$$4a > -1$$

Разделим обе части на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства снова не изменится:

$$a > -\frac{1}{4}$$

Таким образом, уравнение имеет корни при всех значениях параметра $a$, которые строго больше $-\frac{1}{4}$.

Ответ: уравнение имеет корни при $a > -\frac{1}{4}$, то есть при $a \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$.