Номер 70, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.70. При каких значениях параметра $a$ уравнение $3 \cdot 2^{x^2 + 4x + 6} = a^2 - 5a + 18$ имеет корни?

Данное уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда значение его правой части принадлежит множеству значений его левой части.

Рассмотрим левую часть уравнения как функцию от переменной $x$: $f(x) = 3 \cdot 2^{x^2 + 4x + 6}$. Чтобы найти ее множество значений, сначала определим множество значений показателя степени, которым является квадратичная функция $p(x) = x^2 + 4x + 6$.

Графиком функции $p(x) = x^2 + 4x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен. Наименьшее значение этой функции достигается в ее вершине.

Координата вершины по оси абсцисс: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Найдем наименьшее значение функции $p(x)$, подставив $x_v$:
$p_{min} = p(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$.
Таким образом, множество значений показателя $p(x)$ — это промежуток $[2, +\infty)$.

Поскольку показательная функция $y = 2^t$ с основанием $2 > 1$ является монотонно возрастающей, ее наименьшее значение на области определения $[2, +\infty)$ будет при $t=2$. Это значение равно $2^2 = 4$.
Следовательно, наименьшее значение всей левой части уравнения $f(x) = 3 \cdot 2^{x^2 + 4x + 6}$ составляет $3 \cdot 4 = 12$.
Итак, множество значений левой части уравнения есть промежуток $[12, +\infty)$.

Теперь вернемся к исходному уравнению. Оно имеет корни, если значение правой части $a^2 - 5a + 18$ принадлежит найденному множеству значений, то есть:
$a^2 - 5a + 18 \ge 12$

Решим это квадратное неравенство относительно параметра $a$:
$a^2 - 5a + 18 - 12 \ge 0$
$a^2 - 5a + 6 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.
Парабола $y = a^2 - 5a + 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при значениях $a$, которые не лежат между корнями.
Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $a \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$.