Номер 65, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.65. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\sin^2 x + 3\cos^2 x = \frac{a-2}{3}$ не имеет корней?

Для решения данного уравнения с параметром, в первую очередь, необходимо определить область значений его левой части. Обозначим левую часть как функцию $f(x) = \sin^2 x + 3\cos^2 x$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в левую часть уравнения:

$f(x) = (1 - \cos^2 x) + 3\cos^2 x = 1 + 2\cos^2 x$

Теперь найдем множество значений, которые может принимать функция $f(x)$. Мы знаем, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство:

$0 \le \cos^2 x \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на 2:

$0 \cdot 2 \le 2\cos^2 x \le 1 \cdot 2$

$0 \le 2\cos^2 x \le 2$

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$0 + 1 \le 1 + 2\cos^2 x \le 2 + 1$

$1 \le 1 + 2\cos^2 x \le 3$

Таким образом, область значений левой части уравнения, $E(f)$, есть отрезок $[1, 3]$.

Уравнение будет иметь корни только в том случае, если значение его правой части, $\frac{a-2}{3}$, принадлежит найденной области значений, то есть при выполнении условия:

$1 \le \frac{a-2}{3} \le 3$

Соответственно, уравнение не будет иметь корней, если значение правой части окажется вне этого отрезка. Это эквивалентно совокупности двух неравенств:

$\frac{a-2}{3} < 1$ или $\frac{a-2}{3} > 3$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $\frac{a-2}{3} < 1$

Умножим обе части на 3:

$a - 2 < 3$

Прибавим 2 к обеим частям:

$a < 5$

2) $\frac{a-2}{3} > 3$

Умножим обе части на 3:

$a - 2 > 9$

Прибавим 2 к обеим частям:

$a > 11$

Объединяя полученные решения, мы находим все значения параметра $a$, при которых исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней при $a \in (-\infty; 5) \cup (11; \infty)$.