Номер 66, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.66. При каких значениях параметра $a$ уравнение $3^{x^2 - 2} = 2a + 3$ не имеет корней?

Рассмотрим данное уравнение: $3^{x^2-2} = 2a+3$.

Это уравнение будет иметь решение только в том случае, если значение правой части ($2a+3$) принадлежит области значений левой части ($3^{x^2-2}$). Соответственно, уравнение не будет иметь корней, если значение правой части находится вне области значений левой части.

Найдем область значений функции в левой части уравнения, $f(x) = 3^{x^2-2}$.

Область значений зависит от области значений показателя степени $t = x^2-2$.

Минимальное значение выражения $x^2$ равно 0 (достигается при $x=0$). Следовательно, минимальное значение показателя $x^2-2$ равно $0-2 = -2$.

Таким образом, область значений показателя степени: $E(t) = [-2, +\infty)$.

Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция $y = 3^t$ является возрастающей. Её наименьшее значение на промежутке $[-2, +\infty)$ достигается при наименьшем значении аргумента, то есть в точке $t=-2$.

Наименьшее значение левой части уравнения равно: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Следовательно, область значений левой части уравнения: $E(f) = [\frac{1}{9}, +\infty)$.

Уравнение не имеет корней, если значение правой части меньше наименьшего значения левой части. Составим и решим соответствующее неравенство:

$2a+3 < \frac{1}{9}$

Вычтем 3 из обеих частей:

$2a < \frac{1}{9} - 3$

$2a < \frac{1}{9} - \frac{27}{9}$

$2a < -\frac{26}{9}$

Разделим обе части на 2:

$a < -\frac{26}{9 \cdot 2}$

$a < -\frac{13}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы выделить целую часть:

$-\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9}$

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a < -1\frac{4}{9}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1\frac{4}{9})$.