Номер 61, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.61. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2 = a$ имеет корни?

Уравнение $x^2 = a$ представляет собой зависимость между переменной $x$ и параметром $a$. Нам необходимо найти значения параметра $a$, при которых существуют действительные числа $x$, удовлетворяющие этому равенству.

Левая часть уравнения, $x^2$, является квадратом действительного числа. По определению, квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным. То есть, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$.

Для того чтобы равенство $x^2 = a$ было верным, правая часть уравнения (параметр $a$) должна быть равна значению левой части. Так как $x^2$ может принимать только неотрицательные значения, то и параметр $a$ должен быть неотрицательным.

Рассмотрим все возможные случаи для значения параметра $a$:

• Случай 1: $a > 0$ (a — положительное число)
  В этом случае уравнение $x^2 = a$ имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$. Например, если $a=4$, то $x^2=4$ и $x=\pm 2$.
• Случай 2: $a = 0$
  В этом случае уравнение принимает вид $x^2 = 0$. Оно имеет один действительный корень (который также называют корнем кратности 2): $x=0$.
• Случай 3: $a < 0$ (a — отрицательное число)
  В этом случае уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней, поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Объединяя результаты первого и второго случаев, мы заключаем, что уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда параметр $a$ не является отрицательным, то есть $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$ (или $a \in [0, +\infty)$).