Номер 55, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.55. Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 35). При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения $f(x) = a$ лежат за пределами отрезка $[-1; 1]$?

Рис. 35

Для решения задачи необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых уравнение $f(x) = a$ не имеет корней на отрезке $[-1; 1]$. Геометрически это означает, что горизонтальная прямая $y=a$ не должна пересекать график функции $y=f(x)$ в точках, абсциссы которых принадлежат отрезку $[-1; 1]$.

Проанализируем график функции $y=f(x)$ на отрезке $[-1; 1]$:

1. Найдем область значений, которые принимает функция $f(x)$ при $x \in [-1; 1]$. Из графика видно, что на границах отрезка значения функции равны нулю: $f(-1) = 0$ и $f(1) = 0$. Это наибольшее значение функции на данном отрезке.
2. На интервале $(-1; 1)$ график функции расположен ниже оси $Ox$, то есть значения функции отрицательны. Функция достигает своего наименьшего значения на отрезке $[-1; 1]$ в точке локального минимума. Обозначим это наименьшее значение как $m$.
3. Таким образом, множество всех значений функции $f(x)$ на отрезке $[-1; 1]$ — это отрезок $[m; 0]$.
4. Условие, что все корни уравнения $f(x) = a$ лежат за пределами отрезка $[-1; 1]$, равносильно тому, что на самом отрезке $[-1; 1]$ корней нет. Это будет выполняться, если значение $a$ не принадлежит области значений функции на этом отрезке, то есть $a \notin [m; 0]$.
5. Неравенство $a \notin [m; 0]$ эквивалентно совокупности двух строгих неравенств: $a < m$ или $a > 0$.
6. Для нахождения конкретного числового промежутка необходимо определить значение $m$. График дан схематически, но обычно в таких задачах предполагается, что координаты ключевых точек (экстремумов) являются "удобными" целыми числами. На графике указан локальный максимум, достигаемый при $x > 1$, значение которого равно $1$. По аналогии, можно сделать обоснованное предположение, что значение локального минимума на интервале $(-1; 1)$ равно $-1$. Принимаем $m = \min_{x \in [-1; 1]} f(x) = -1$.
7. Подставляем значение $m = -1$ в полученную совокупность: $a < -1$ или $a > 0$.

Таким образом, при $a \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$ все корни уравнения $f(x)=a$ будут лежать строго вне отрезка $[-1; 1]$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.