Номер 51, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.51. Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 31). При каких значениях параметра $a$ хотя бы один корень уравнения $f(x) = a$ больше 1?

Рис. 31

Для решения задачи необходимо определить, при каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет хотя бы один корень (решение) $x$, который строго больше 1, то есть $x > 1$.

Геометрически, решение уравнения $f(x) = a$ соответствует нахождению абсцисс (координат $x$) точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Условие "хотя бы один корень больше 1" означает, что нам нужно найти все такие значения $a$, при которых прямая $y = a$ пересекает график функции $y = f(x)$ хотя бы в одной точке, для которой $x > 1$.

Рассмотрим ту часть графика функции $y = f(x)$, которая расположена правее вертикальной прямой $x = 1$.

• При $x=1$ функция достигает локального минимума. Из графика видно, что $f(1) = 0$.
• При $x > 1$ график функции сначала поднимается от точки $(1, 0)$ до точки локального максимума. По отметке на оси $y$ можно предположить, что значение этого максимума равно 1.
• После достижения этого максимума функция убывает и ее значения стремятся к $-\infty$.

Таким образом, для всех $x > 1$ значения функции $f(x)$ покрывают все числа от локального максимума (включая его) вниз до минус бесконечности. Множество значений функции на интервале $(1, \infty)$ — это луч $(-\infty, 1]$.

Следовательно, прямая $y=a$ будет иметь хотя бы одну точку пересечения с графиком функции при $x>1$ только в том случае, если значение $a$ принадлежит этому множеству значений, то есть $a \in (-\infty, 1]$.

Если $a > 1$, то прямая $y=a$ пересечет график только в левой его части, где $x < 1$, и не будет иметь точек пересечения с частью графика при $x > 1$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1]$.