Номер 47, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.47. Определите количество корней уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значений параметра $a$, зная, что функция $y = f(x)$ задана графически:

а) рис. 25;

б) рис. 26;

в) рис. 27.

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

Количество корней уравнения $f(x) = a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = a$. Проанализируем каждый график для определения этого количества в зависимости от параметра $a$.

а) рис. 25;
Из графика видно, что функция имеет локальный минимум $y=0$, локальный максимум, значение которого обозначим как $m$ (приблизительно $m \approx 0.8$), проходит через точку $(0, 1)$ и имеет глобальный максимум, значение которого обозначим как $M$ (приблизительно $M \approx 2$).
Ответ:

• 4 корня при $a \in (0, m)$, то есть примерно при $a \in (0, 0.8)$;
• 3 корня при $a=0$ или $a \in (m, 1)$, то есть примерно при $a \in (0.8, 1)$;
• 2 корня при $a < 0$, или $a=m$ (примерно $a=0.8$), или $a \in [1, M)$ (примерно $a \in [1, 2)$);
• 1 корень при $a=M$, то есть примерно при $a=2$;
• 0 корней (нет корней) при $a > M$, то есть примерно при $a > 2$.

б) рис. 26;
Из графика видно, что функция имеет следующие ключевые значения на оси ординат: минимум $y=0$, локальный максимум $y=1$, глобальный максимум $y=3$. Также имеется горизонтальный участок на уровне $y=0.5$.
Ответ:

• бесконечно много корней при $a = 0.5$;
• 4 корня при $a \in (0.5, 1)$;
• 3 корня при $a = 1$ или $a \in (0, 0.5)$;
• 2 корня при $a = 0$ или $a \in (1, 3)$;
• 1 корень при $a < 0$ или $a = 3$;
• 0 корней (нет корней) при $a > 3$.

в) рис. 27;
Из графика видно, что функция имеет следующие локальные экстремумы: минимумы в точках $y=-0.5$, $y=0.5$, $y=1$ и максимумы в точках $y=2$, $y=3$. Также график проходит через начало координат $(0,0)$.
Ответ:

• 6 корней при $a \in (0, 0.5)$;
• 5 корней при $a=0$ или $a \in [0.5, 1)$;
• 4 корня при $a \in (-0.5, 0)$ или $a \in [1, 2)$;
• 3 корня при $a = -0.5$ или $a \in [2, 3)$;
• 2 корня при $a < -0.5$ или $a \ge 3$.