Номер 43, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.43. При каких значениях параметра $a$ любое решение неравенства $x^2 - x - 2 < 0$ больше любого решения неравенства $ax^2 - 4x - 1 \ge 0$?

Для решения задачи сначала найдём множество решений первого неравенства, а затем определим условия на параметр a, при которых выполняется требование задачи.

Шаг 1: Решение первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 - x - 2 < 0$.

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{2}$, откуда $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы $y = x^2 - x - 2$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, множество решений первого неравенства, обозначим его $S_1$, есть интервал $S_1 = (-1, 2)$.

Шаг 2: Формулировка условия для второго неравенства

Рассмотрим второе неравенство: $ax^2 - 4x - 1 \ge 0$. Обозначим его множество решений как $S_2$.

Условие задачи гласит, что любое решение из $S_1$ должно быть больше любого решения из $S_2$. Это означает, что для любых $x_1 \in S_1$ и $x_2 \in S_2$ должно выполняться $x_1 > x_2$.

Это условие равносильно тому, что всё множество $S_2$ должно находиться на числовой оси левее множества $S_1$. То есть, верхняя граница (supremum) множества $S_2$ должна быть меньше или равна нижней границе (infimum) множества $S_1$.

Нижняя граница множества $S_1 = (-1, 2)$ равна $-1$. Следовательно, мы должны найти такие значения параметра $a$, при которых выполняется условие:

$\sup(S_2) \le -1$

Шаг 3: Анализ второго неравенства в зависимости от параметра a

Рассмотрим параболу $f(x) = ax^2 - 4x - 1$.

Случай 1: $a = 0$

При $a=0$ неравенство становится линейным:

$-4x - 1 \ge 0$

$-4x \ge 1$

$x \le -\frac{1}{4}$

Множество решений $S_2 = (-\infty, -1/4]$. Верхняя граница этого множества $\sup(S_2) = -1/4$.

Проверяем условие: $-\frac{1}{4} \le -1$. Это неравенство неверно. Значит, $a=0$ не является решением.

Случай 2: $a > 0$

При $a>0$ ветви параболы $f(x)$ направлены вверх. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-4)^2 - 4(a)(-1) = 16 + 4a$. Так как $a>0$, $D > 16 > 0$, поэтому всегда есть два различных корня. Решением неравенства $ax^2 - 4x - 1 \ge 0$ является объединение двух лучей: $S_2 = (-\infty, x_{min}] \cup [x_{max}, \infty)$.

Это множество не ограничено сверху, то есть $\sup(S_2) = +\infty$. Условие $\sup(S_2) \le -1$ очевидно не выполняется.

Случай 3: $a < 0$

При $a<0$ ветви параболы $f(x)$ направлены вниз. Дискриминант $D = 16 + 4a$.

• Если $D < 0$, то есть $16 + 4a < 0 \implies 4a < -16 \implies a < -4$. Парабола полностью находится под осью Ox, то есть $f(x) < 0$ для всех $x$. Неравенство $ax^2 - 4x - 1 \ge 0$ не имеет решений. Множество $S_2$ является пустым: $S_2 = \emptyset$. По определению, $\sup(\emptyset) = -\infty$. Условие $-\infty \le -1$ выполняется. Следовательно, все $a < -4$ являются решениями.
• Если $D = 0$, то есть $16 + 4a = 0 \implies a = -4$. Неравенство имеет вид $-4x^2 - 4x - 1 \ge 0$, что эквивалентно $-(2x+1)^2 \ge 0$. Это возможно только если $(2x+1)^2 = 0$, то есть $x = -1/2$. Множество решений $S_2 = \{-1/2\}$. Верхняя граница $\sup(S_2) = -1/2$. Условие $-1/2 \le -1$ неверно. Значит, $a=-4$ не является решением.
• Если $D > 0$, то есть $16 + 4a > 0 \implies a > -4$. Учитывая, что мы рассматриваем $a<0$, этот случай соответствует $a \in (-4, 0)$. Решением неравенства является отрезок между корнями $x_{min}$ и $x_{max}$. Корни уравнения $ax^2 - 4x - 1 = 0$: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16+4a}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4+a}}{a}$. Поскольку $a<0$, то большим корнем (правой границей отрезка) будет $x_{max} = \frac{2 - \sqrt{4+a}}{a}$. Итак, $\sup(S_2) = \frac{2 - \sqrt{4+a}}{a}$. Проверяем условие $\sup(S_2) \le -1$:

  $\frac{2 - \sqrt{4+a}}{a} \le -1$

  Умножаем обе части на $a < 0$, меняя знак неравенства:

  $2 - \sqrt{4+a} \ge -a$

  $2 + a \ge \sqrt{4+a}$

  Для того чтобы это неравенство могло иметь решение, левая часть должна быть неотрицательной (так как правая неотрицательна): $2+a \ge 0 \implies a \ge -2$. Таким образом, ищем решения для $a \in [-2, 0)$. На этом интервале можно возвести обе части в квадрат:

  $(2+a)^2 \ge 4+a$

  $a^2 + 4a + 4 \ge 4+a$

  $a^2 + 3a \ge 0 \implies a(a+3) \ge 0$

  Решением этого неравенства является $a \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$. Нам нужно найти пересечение этого множества с интервалом $a \in [-2, 0)$, на котором мы решали неравенство. Пересечение $([-2, 0)) \cap ((-\infty, -3] \cup [0, \infty))$ пусто. Следовательно, в интервале $a \in (-4, 0)$ решений нет.

Шаг 4: Итоговый вывод

Объединяя результаты всех рассмотренных случаев, мы приходим к выводу, что условие задачи выполняется только при $a < -4$.

При каких значениях параметра a любое решение неравенства $x^2 - x - 2 < 0$ больше любого решения неравенства $ax^2 - 4x - 1 \ge 0$?Ответ: $a \in (-\infty, -4)$.