Номер 36, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.36. При каких значениях параметра $m$ неравенство $x^2 + mx + m^2 + 6m < 0$ выполняется для любых $x \in (1; 2)$?

Для решения задачи рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + mx + m^2 + 6m$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Неравенство $f(x) < 0$ должно выполняться для всех $x$ из интервала $(1; 2)$. Поскольку парабола направлена вверх, она может быть отрицательной только между своими корнями. Следовательно, чтобы вся дуга параболы на интервале $(1; 2)$ находилась под осью абсцисс, значения функции на концах этого интервала должны быть неположительными.

Это условие можно записать в виде системы неравенств: $$ \begin{cases} f(1) \le 0 \\ f(2) \le 0 \end{cases} $$ Так как парабола не может быть тождественно равна нулю на интервале, выполнение этих условий гарантирует, что $f(x) < 0$ для всех $x \in (1; 2)$.

Решим эту систему относительно параметра $m$.

1. Решим первое неравенство $f(1) \le 0$: $$ 1^2 + m \cdot 1 + m^2 + 6m \le 0 \\ m^2 + 7m + 1 \le 0 $$ Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $m^2 + 7m + 1 = 0$. Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 - 4 = 45$. Корни: $m_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $m^2 + 7m + 1 \le 0$ выполняется между корнями. Решение первого неравенства: $m \in \left[ \frac{-7-3\sqrt{5}}{2}; \frac{-7+3\sqrt{5}}{2} \right]$.

2. Решим второе неравенство $f(2) \le 0$: $$ 2^2 + m \cdot 2 + m^2 + 6m \le 0 \\ 4 + 2m + m^2 + 6m \le 0 \\ m^2 + 8m + 4 \le 0 $$ Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $m^2 + 8m + 4 = 0$. Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$. Корни: $m_{3,4} = \frac{-8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{3}$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $m^2 + 8m + 4 \le 0$ выполняется между корнями. Решение второго неравенства: $m \in \left[ -4-2\sqrt{3}; -4+2\sqrt{3} \right]$.

3. Найдем пересечение решений. Теперь нужно найти пересечение двух полученных интервалов: $$ m \in \left[ \frac{-7-3\sqrt{5}}{2}; \frac{-7+3\sqrt{5}}{2} \right] \cap \left[ -4-2\sqrt{3}; -4+2\sqrt{3} \right] $$ Для этого сравним концы интервалов. Воспользуемся приближенными значениями: $\sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt{3} \approx 1.732$.

• $\frac{-7-3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-7-3(2.236)}{2} = \frac{-13.708}{2} \approx -6.85$
• $\frac{-7+3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-7+3(2.236)}{2} = \frac{-0.292}{2} \approx -0.15$
• $-4-2\sqrt{3} \approx -4-2(1.732) = -4-3.464 \approx -7.46$
• $-4+2\sqrt{3} \approx -4+2(1.732) = -4+3.464 \approx -0.54$

Расположим эти числа на числовой оси:

$-7.46 < -6.85 < -0.54 < -0.15$

Это соответствует следующему порядку точных значений:

$-4-2\sqrt{3} < \frac{-7-3\sqrt{5}}{2} < -4+2\sqrt{3} < \frac{-7+3\sqrt{5}}{2}$

Пересечением интервалов $ \left[ \frac{-7-3\sqrt{5}}{2}; \frac{-7+3\sqrt{5}}{2} \right] $ и $ \left[ -4-2\sqrt{3}; -4+2\sqrt{3} \right] $ является интервал, ограниченный большим из левых концов и меньшим из правых концов.
Левая граница пересечения: $\frac{-7-3\sqrt{5}}{2}$.
Правая граница пересечения: $-4+2\sqrt{3}$.

Ответ: $m \in \left[ \frac{-7-3\sqrt{5}}{2}; -4+2\sqrt{3} \right]$.