Номер 42, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.42. При каких значениях параметра $a$ любое решение неравенства $x^2 - 3x + 2 < 0$ является решением неравенства $ax^2 - (3a+1)x + 3 > 0$?

Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых множество решений неравенства $x^2 - 3x + 2 < 0$ является подмножеством множества решений неравенства $ax^2 - (3a + 1)x + 3 > 0$.

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 3x + 2 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 - 3x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Таким образом, решением первого неравенства является интервал $x \in (1, 2)$.

2. Проанализируем второе неравенство: $ax^2 - (3a + 1)x + 3 > 0$.

Теперь нам нужно найти такие значения $a$, при которых неравенство $ax^2 - (3a + 1)x + 3 > 0$ выполняется для всех $x \in (1, 2)$. Обозначим $f(x) = ax^2 - (3a + 1)x + 3$. Мы ищем $a$, при которых $f(x) > 0$ для всех $x \in (1, 2)$.

Рассмотрим три случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$

Если $a = 0$, неравенство становится линейным: $0 \cdot x^2 - (3 \cdot 0 + 1)x + 3 > 0$ $-x + 3 > 0$ $x < 3$ Множество решений — $(-\infty, 3)$. Интервал $(1, 2)$ полностью содержится в этом множестве, так как любое число из $(1, 2)$ меньше 3. Следовательно, $a=0$ удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: $a > 0$

Если $a > 0$, то графиком функции $f(x)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Чтобы функция была положительной на всем интервале $(1, 2)$, достаточно, чтобы ее значения на концах этого интервала были неотрицательными. То есть, должны выполняться условия $f(1) \ge 0$ и $f(2) \ge 0$.

Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=2$: $f(1) = a(1)^2 - (3a + 1)(1) + 3 = a - 3a - 1 + 3 = -2a + 2$ $f(2) = a(2)^2 - (3a + 1)(2) + 3 = 4a - 6a - 2 + 3 = -2a + 1$

Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} a > 0 \\ f(1) \ge 0 \\ f(2) \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a > 0 \\ -2a + 2 \ge 0 \\ -2a + 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a > 0 \\ 2 \ge 2a \\ 1 \ge 2a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a > 0 \\ a \le 1 \\ a \le \frac{1}{2} \end{cases} $$ Решением этой системы является промежуток $0 < a \le \frac{1}{2}$.

Случай 3: $a < 0$

Если $a < 0$, то графиком функции $f(x)$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Неравенство $f(x) > 0$ выполняется на интервале между корнями уравнения $f(x) = 0$.

Найдем корни уравнения $ax^2 - (3a + 1)x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-(3a+1))^2 - 4(a)(3) = 9a^2 + 6a + 1 - 12a = 9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{(3a+1) \pm \sqrt{(3a-1)^2}}{2a} = \frac{3a+1 \pm (3a-1)}{2a}$ $x_1 = \frac{3a+1 - (3a-1)}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}$ $x_2 = \frac{3a+1 + (3a-1)}{2a} = \frac{6a}{2a} = 3$

Поскольку $a<0$, то корень $\frac{1}{a}$ отрицателен. Множеством решений неравенства $f(x) > 0$ является интервал $(\frac{1}{a}, 3)$. Нам необходимо, чтобы интервал $(1, 2)$ содержался в интервале $(\frac{1}{a}, 3)$. Это будет выполняться, если $\frac{1}{a} \le 1$ и $2 \le 3$. Второе условие, $2 \le 3$, очевидно, истинно. Рассмотрим первое условие: $\frac{1}{a} \le 1$. Так как $a < 0$, при умножении обеих частей на $a$ знак неравенства меняется на противоположный: $1 \ge a$. Это условие также истинно для всех $a < 0$. Следовательно, все значения $a < 0$ являются решениями.

Объединение результатов

Соберем все найденные решения:

1. $a=0$
2. $a \in (0, \frac{1}{2}]$
3. $a \in (-\infty, 0)$

Объединение этих множеств дает итоговый ответ: $a \in (-\infty, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $a \in (-\infty, \frac{1}{2}]$.