Номер 37, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.37. При каких значениях параметра $a$ неравенство $(x - 3a)(x - a - 3) < 0$ выполняется при всех $x \in [1; 3]$?

Обозначим левую часть неравенства как функцию от $x$: $f(x) = (x - 3a)(x - a - 3)$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1).

Неравенство $f(x) < 0$ выполняется для значений $x$, которые находятся между корнями параболы. Чтобы это неравенство выполнялось для всех $x$ из отрезка $[1; 3]$, необходимо и достаточно, чтобы весь этот отрезок лежал строго между корнями.

Для параболы с ветвями вверх это условие равносильно тому, что значения функции на концах отрезка $[1; 3]$ должны быть отрицательными. Таким образом, приходим к системе неравенств относительно параметра $a$:

Решим каждое неравенство системы.

Подставляем $x=1$ в выражение для $f(x)$:

Вынесем знак минус из каждой скобки. Произведение двух минусов дает плюс, поэтому знак неравенства не меняется:

Это квадратичное неравенство относительно $a$. Корни левой части равны $a_1 = -2$ и $a_2 = \frac{1}{3}$. Так как ветви параболы $y=(3a - 1)(a + 2)$ направлены вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями.

Ответ: $a \in (-2; \frac{1}{3})$

Подставляем $x=3$ в выражение для $f(x)$:

Разделим обе части на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

Чтобы избавиться от минуса при $a$ в скобке, умножим обе части на -1 и снова изменим знак неравенства:

Корни левой части равны $a_1 = 0$ и $a_2 = 1$. Неравенство выполняется на интервале между корнями.

Ответ: $a \in (0; 1)$

Для выполнения исходного условия задачи необходимо, чтобы параметр $a$ удовлетворял обоим найденным условиям одновременно. Для этого найдем пересечение полученных интервалов решений:

Пересечением данных интервалов является интервал $(0; \frac{1}{3})$.

Ответ: $a \in (0; \frac{1}{3})$